Tìm các số nguyên dương x,y sao cho x^2+1/xy-1 là một số nguyên dương

HungNK Hỏi từ APP VIETJACK

đã hỏi trong Lớp 7 Toán học

· 08:30 19/04/2025

Trả Lời

Hỏi chi tiết

Trả lời trong APP VIETJACK

Quảng cáo

2 câu trả lời 175

Sang Phạm

2 tháng trước

Đặt biểu thức

$A = \frac{x^2 + 1}{xy - 1}$

Yêu cầu: $A \in \mathbb{Z}^+$ (số nguyên dương)

Vì $A$ là số nguyên ⇒ tử chia hết cho mẫu:

$xy - 1 \mid x^2 + 1$

⇒ Có nghĩa là tồn tại số nguyên $k > 0$ sao cho:

$x^2 + 1 = k(xy - 1)$

Giải phương trình này.

Phá ngoặc:

$x^2 + 1 = kxy - k$

Chuyển vế:

$x^2 - kxy + (1 + k) = 0$

Ta coi đây là phương trình bậc 2 ẩn x, giải theo x.

Giải nghiệm nguyên bằng cách thử giá trị nhỏ của $k$

Thử $k = 1$ :

$x^2 - xy + 2 = 0$

→ Ta thử giá trị nguyên dương nhỏ:

- $x = 1$ : $1 - y + 2 = 0 \Rightarrow y = 3$
- $x = 2$ : $4 - 2y + 2 = 0 \Rightarrow y = 3$

→ Được nghiệm $(x, y) = (1, 3), (2, 3)$

Tính lại thử:

- $x = 1, y = 3 \Rightarrow \frac{1 + 1}{1×3 - 1} = \frac{2}{2} = 1$
- $x = 2, y = 3 \Rightarrow \frac{4 + 1}{6 - 1} = \frac{5}{5} = 1$

Đều là số nguyên dương.

Tổng quát hóa nghiệm

Từ phương trình:

$x^2 + 1 = k(xy - 1)$

Biến đổi:

$x^2 - kxy + k + 1 = 0$

Ta coi đây là phương trình bậc 2 theo $x$ . Với mỗi $k$ , thử giải phương trình xem có nghiệm nguyên dương hay không.

Nhưng nếu yêu cầu là tìm tất cả cặp nghiệm (x, y) nguyên dương sao cho biểu thức là số nguyên ⇒ ta biến đổi lại:

$A = \frac{x^2 + 1}{xy - 1} \Rightarrow A(xy - 1) = x^2 + 1 \Rightarrow Axy - A = x^2 + 1 \Rightarrow Axy - x^2 = A + 1 \Rightarrow x(Ay - x) = A + 1$

Do $A + 1$ là số nguyên dương, nên các ước nguyên dương của $A + 1$ là hữu hạn.

→ Với mỗi số nguyên dương $A$ , ta có:

$x(Ay - x) = A + 1 \Rightarrow x \mid A + 1$

Tức là ta có thể duyệt các ước của $A + 1$ để tìm nghiệm $x, y$ nguyên dương.

Một số cặp nghiệm (x, y) nguyên dương thỏa:

- $(1, 3) \Rightarrow A = 1$
- $(2, 3) \Rightarrow A = 1$
- $(5, 2) \Rightarrow A = \frac{26}{9} \$
- $(3, 2) \Rightarrow A = \frac{10}{5} = 2$
- $(5, 3) \Rightarrow A = \frac{26}{14} = 13/7$
- $(4, 2) \Rightarrow \frac{17}{7}$

Không có nhiều nghiệm đẹp, chỉ vài nghiệm thỏa mãn.

Đáp án (các nghiệm nguyên dương):

$(x, y) = (1, 3),\ (2, 3),\ (3, 2)$

...Xem thêm

(+1) 0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

┗|｀O′|┛

2 tháng trước

Bài toán của bạn là:
Tìm các số nguyên dương x,yx, yx,y sao cho biểu thức sau là một số nguyên dương:

x2+1xy−1\frac{x^2 + 1}{xy - 1}xy−1x2+1
✅ Phân tích:
Ta cần:

x2+1xy−1∈Z+\frac{x^2 + 1}{xy - 1} \in \mathbb{Z}^+xy−1x2+1∈Z+Điều đó có nghĩa là: xy−1xy - 1xy−1 phải chia hết x2+1x^2 + 1x2+1.

Hay viết lại:

xy−1∣x2+1xy - 1 \mid x^2 + 1xy−1∣x2+1Gọi d=xy−1⇒xy=d+1d = xy - 1 \Rightarrow xy = d + 1d=xy−1⇒xy=d+1

Thay vào:

d∣x2+1⇒d∣x2+1d \mid x^2 + 1 \Rightarrow d \mid x^2 + 1d∣x2+1⇒d∣x2+1Nhưng lại: y=d+1xy = \frac{d + 1}{x}y=xd+1
Để y là số nguyên dương, thì x∣d+1x \mid d + 1x∣d+1

🔍 Tìm giá trị thử:
Thử một vài giá trị nhỏ của xxx, tìm ddd sao cho d∣x2+1d \mid x^2 + 1d∣x2+1, và kiểm tra xem y=d+1x∈Z+y = \frac{d + 1}{x} \in \mathbb{Z}^+y=xd+1∈Z+.

✅ Với x=1x = 1x=1:
x2+1=2x^2 + 1 = 2x2+1=2
Tìm d∣2⇒d=1,2d \mid 2 \Rightarrow d = 1, 2d∣2⇒d=1,2
d=1⇒xy=d+1=2⇒y=2d = 1 \Rightarrow xy = d + 1 = 2 \Rightarrow y = 2d=1⇒xy=d+1=2⇒y=2 ✅
→ Thử lại: 12+11×2−1=21=2\frac{1^2 + 1}{1×2 - 1} = \frac{2}{1} = 21×2−112+1=12=2 → Nguyên dương
d=2⇒xy=3⇒y=3d = 2 \Rightarrow xy = 3 \Rightarrow y = 3d=2⇒xy=3⇒y=3
→ 12+11×3−1=22=1\frac{1^2 + 1}{1×3 - 1} = \frac{2}{2} = 11×3−112+1=22=1 ✅
→ Với x = 1 có 2 cặp nghiệm: (1, 2), (1, 3)

✅ Với x=2x = 2x=2:
x2+1=5x^2 + 1 = 5x2+1=5
d∣5⇒d=1,5d \mid 5 \Rightarrow d = 1, 5d∣5⇒d=1,5
d=1⇒xy=2⇒y=1d = 1 \Rightarrow xy = 2 \Rightarrow y = 1d=1⇒xy=2⇒y=1
→ 4+12×1−1=51=5\frac{4 + 1}{2×1 - 1} = \frac{5}{1} = 52×1−14+1=15=5 ✅
d=5⇒xy=6⇒y=3d = 5 \Rightarrow xy = 6 \Rightarrow y = 3d=5⇒xy=6⇒y=3
→ 4+16−1=55=1\frac{4 + 1}{6 - 1} = \frac{5}{5} = 16−14+1=55=1 ✅
→ Với x = 2 có nghiệm: (2, 1), (2, 3)

✅ Với x=3x = 3x=3:
x2+1=10x^2 + 1 = 10x2+1=10
d∣10⇒d=1,2,5,10d \mid 10 \Rightarrow d = 1, 2, 5, 10d∣10⇒d=1,2,5,10
d=1⇒xy=2⇒y=2/3❌d = 1 \Rightarrow xy = 2 \Rightarrow y = 2/3 ❌d=1⇒xy=2⇒y=2/3❌
d=2⇒xy=3⇒y=1d = 2 \Rightarrow xy = 3 \Rightarrow y = 1d=2⇒xy=3⇒y=1
→ 9+13×1−1=102=5\frac{9 + 1}{3×1 - 1} = \frac{10}{2} = 53×1−19+1=210=5 ✅
d=5⇒xy=6⇒y=2d = 5 \Rightarrow xy = 6 \Rightarrow y = 2d=5⇒xy=6⇒y=2
→ 106−1=105=2\frac{10}{6 - 1} = \frac{10}{5} = 26−110=510=2 ✅
d=10⇒xy=11⇒y=11/3❌d = 10 \Rightarrow xy = 11 \Rightarrow y = 11/3 ❌d=10⇒xy=11⇒y=11/3❌
→ Nghiệm: (3, 1), (3, 2)

📌 Tổng hợp các nghiệm nguyên dương:
(x,y)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)(x, y) = (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)(x,y)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo