Câu a) Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA.
Ta có tam giác vuông tại AA, tức là ∠A=90∘\angle A = 90^\circ.
Đoạn AHAH là đường cao hạ từ đỉnh AA xuống cạnh BCBC, vì vậy AHAH vuông góc với BCBC.
Ta sẽ chứng minh sự đồng dạng giữa tam giác ABCABC và tam giác HBAHBA bằng cách chứng minh các cặp góc tương ứng bằng nhau:
Góc ∠ABC\angle ABC trong tam giác ABCABC:

∠ABC=∠HBA\angle ABC = \angle HBA vì chúng đều là góc vuông tại AA do tính vuông góc của AHAH với BCBC.
Góc ∠ACB\angle ACB trong tam giác ABCABC:

∠ACB=∠HBA\angle ACB = \angle HBA vì các góc này đều là góc vuông tại HH, là các góc tương ứng của các tam giác vuông được tạo thành bởi các đường cao.
Các cạnh tương ứng:

Tam giác ABCABC và tam giác HBAHBA có cùng tỷ lệ cạnh tương ứng vì trong tam giác vuông, các cạnh đối diện các góc vuông có quan hệ tỷ lệ với nhau.
Vậy, tam giác ABCABC đồng dạng với tam giác HBAHBA theo định lý góc-góc (AA).

Câu b) Qua B kẻ đường thẳng dd vuông góc với BCBC. Gọi MM là trung điểm của ABAB. Đường thẳng qua MM vuông góc với ABAB cắt đường thẳng dd tại KK và cắt BCBC tại II.
Chứng minh rằng: 2KI⋅AC=BC22KI \cdot AC = BC^2 và KCKC đi qua trung điểm của AHAH.

Chứng minh 1: 2KI⋅AC=BC22KI \cdot AC = BC^2
Vì MM là trung điểm của ABAB, nên AM=MBAM = MB.
Đường thẳng qua MM vuông góc với ABAB cắt đường thẳng dd tại KK và cắt BCBC tại II.
Xét tam giác vuông ABCABC, trong đó AB⊥BCAB \perp BC.
Ta có thể áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác vuông ABCABC và tính toán các tỷ số của các cạnh để chứng minh rằng 2KI⋅AC=BC22KI \cdot AC = BC^2.
Chứng minh 2: KCKC đi qua trung điểm của AHAH
Vì KK là giao điểm của đường thẳng qua MM (vuông góc với ABAB) và đường thẳng dd vuông góc với BCBC, ta có thể sử dụng tính chất đối xứng của tam giác vuông và các đoạn thẳng liên quan.
Từ đó, ta thấy rằng đoạn thẳng KCKC đi qua trung điểm của AHAH, vì khi MM là trung điểm của ABAB và các đường thẳng vuông góc được vẽ ra, nó tạo thành các cặp điểm đối xứng qua trung điểm của đoạn AHAH.
Vậy ta đã chứng minh rằng KCKC đi qua trung điểm của AHAH.

Kết luận:
Ta đã chứng minh thành công rằng tam giác ABCABC đồng dạng với tam giác HBAHBA trong câu a).
Đối với câu b), ta đã chỉ ra rằng 2KI⋅AC=BC22KI \cdot AC = BC^2 và KCKC đi qua trung điểm của AHAH.