Bước 1: Sử dụng tính chất đường trung bình và diện tích

Xét tam giác ABC, M là trung điểm BC nên AM là đường trung tuyến. Ta có SABM​=SACM​=21​SABC​.
Xét tam giác ABD, K là trung điểm AD nên BK là đường trung tuyến. Ta có SABK​=SDBK​=21​SABD​.
Xét tam giác BCD, M là trung điểm BC nên DM là đường trung tuyến. Ta có SBDM​=SCDM​=21​SBCD​.
Xét tam giác CAD, K là trung điểm AD nên CK là đường trung tuyến. Ta có SCAK​=SCDK​=21​SCAD​.
Bước 2: Liên hệ diện tích các tam giác với diện tích tứ giác

Ta có: SABC​+SADC​=SABCD​ SABD​+SBCD​=SABCD​

Bước 3: Biểu diễn diện tích các tam giác nhỏ qua diện tích các tam giác lớn hơn

SABH​=SABM​−SBHM​
SCDL​=SCDM​−SCLM​
Chúng ta cần chứng minh: SHKLM​=(SABM​−SBHM​)+(SCDM​−SCLM​) SHKLM​=SABM​+SCDM​−(SBHM​+SCLM​)

Mà SHKLM​=SBCD​−SBDM​−SCLM​−SDLK​+SHBL​+SKCL​ (cách này có vẻ phức tạp hơn)

Bước 4: Tiếp cận bằng cách sử dụng trung điểm và đường trung bình trong các tam giác tạo bởi đường chéo

Xét tam giác BCD, M là trung điểm BC.
Xét tam giác ABD, K là trung điểm AD.
Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Trong tam giác BCD, xét đường trung tuyến DM.
Trong tam giác ABD, xét đường trung tuyến BK.
Bước 5: Sử dụng tính chất về diện tích các tam giác có cùng chiều cao hoặc cùng đáy

Các tam giác có cùng chiều cao thì tỉ lệ diện tích bằng tỉ lệ đáy.
Các tam giác có cùng đáy thì tỉ lệ diện tích bằng tỉ lệ chiều cao.
Bước 6: Xét các tam giác con bên trong tứ giác

Xét tam giác ABK và đường thẳng HM cắt các cạnh.
Xét tam giác CDM và đường thẳng LM cắt các cạnh.
Bước 7: Sử dụng định lý Menelaus hoặc Ceva (có thể không cần thiết nhưng hữu ích trong các bài toán giao điểm)

Bước 8: Một hướng tiếp cận khác: Sử dụng véc tơ và tọa độ (có thể phức tạp hơn nhưng chặt chẽ)

Bước 9: Tập trung vào mối quan hệ giữa diện tích HKLM và các tam giác xung quanh

SHKLM​=SABCD​−SABH​−SCDL​−SADK​−SBCM​+SAHK​+SCML​ (cũng phức tạp)

Bước 10: Hướng tiếp cận hiệu quả hơn: Chia tứ giác thành các tam giác nhỏ hơn bởi các đường trung tuyến

Xét tứ giác ABCD. Các đường trung tuyến AM, BK, DM, CK tạo ra các giao điểm H và L.

Xét tam giác ABC, trung tuyến AM chia thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.
Xét tam giác ADC, trung tuyến CK chia thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.
Xét tam giác ABD, trung tuyến BK chia thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.
Xét tam giác BCD, trung tuyến DM chia thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.
Bước 11: Biểu diễn diện tích HKLM qua diện tích ABCD

Ta sẽ chứng minh rằng SHKLM​=31​SABCD​. Nếu điều này đúng, và chúng ta chứng minh được SABH​+SCDL​=31​SABCD​, bài toán sẽ được giải quyết.

Chứng minh SHKLM​=31​SABCD​ (ý tưởng):

Xét trường hợp đặc biệt khi ABCD là hình bình hành. Khi đó, các đường trung tuyến cắt nhau tại trung điểm của nhau, và H trùng với L, M và K là trung điểm các cạnh. HKLM trở thành một đoạn thẳng hoặc một điểm, diện tích bằng 0. SABH​=SCDL​ và tổng của chúng cũng bằng 0. Điều này không đúng cho tứ giác lồi tổng quát.

Hướng chứng minh chính:

Ta sẽ chứng minh rằng diện tích của mỗi tam giác ABH và CDL bằng một phần diện tích nào đó của các tam giác lớn hơn, và tổng của chúng liên quan đến diện tích HKLM.

Xét tam giác ABM và đường thẳng BKH. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABM và đường thẳng B-K-H: KMAK​⋅HBMH​⋅CABC​=1 (điểm K trên AD, không phải KM)

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ADM và đường thẳng B-K-H: KDAK​⋅BMDB​⋅HAMH​=1 1⋅BMDB​⋅HAMH​=1⟹HAMH​=DBBM​

Xét tam giác BCM và đường thẳng AMH. Áp dụng định lý Menelaus: AHBA​⋅MCHM​⋅KBCK​=1 (điểm H trên AM)

Chứng minh trực tiếp SHKLM​=SABH​+SCDL​:

Xét tam giác ABK và đường thẳng HM cắt các cạnh tại H. Xét tam giác CDM và đường thẳng LM cắt các cạnh tại L.

Sử dụng một kết quả quan trọng: Diện tích tứ giác tạo bởi các trung điểm của các cạnh của một tứ giác bất kỳ bằng một nửa diện tích tứ giác ban đầu. Tứ giác có các đỉnh là trung điểm của AB, BC, CD, DA có diện tích 21​SABCD​.

Tuy nhiên, HKLM không phải là tứ giác tạo bởi các trung điểm.

Xét một biến đổi diện tích:

SABH​=SABM​⋅AMAH​ SCDL​=SCDM​⋅DMDL​

Kết quả quan trọng khác: Giao điểm của các đường trung tuyến của một tam giác chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1. Tuy nhiên, H và L không nhất thiết là trọng tâm của các tam giác.

Chứng minh bằng cách sử dụng tọa độ hóa (có thể đơn giản hóa nhiều bước nhưng không phải là chứng minh hình học thuần túy):

Đặt gốc tọa độ tại một điểm, biểu diễn tọa độ các đỉnh và trung điểm, sau đó tính diện tích các đa giác.

Quay lại phương pháp diện tích thuần túy:

Xét tam giác ABK và đường thẳng HM cắt các cạnh. Áp dụng định lý Ceva cho tam giác ABD với các đường thẳng AK, BM, DH (nếu chúng đồng quy - không chắc chắn).

Một hướng tiếp cận dựa trên một bài toán tương tự đã được chứng minh:

Cho tứ giác ABCD, M, N là trung điểm BC, AD. Gọi P, Q là trung điểm AC, BD. Khi đó, diện tích tứ giác MPNQ bằng một nửa diện tích tứ giác ABCD.

Bài toán này có sự tương đồng nhưng H và L không phải là trung điểm của đường chéo.

Chứng minh bằng cách phân tích diện tích các tam giác:

SABH​=21​AB⋅h1​ (với h1​ là chiều cao từ H xuống AB) SCDL​=21​CD⋅h2​ (với h2​ là chiều cao từ L xuống CD) SHKLM​=?

Xét tam giác ABM và đường thẳng BKH:

Áp dụng định lý Menelaus: KDAK​⋅BMDB​⋅HAMH​=1 (sai điểm trên đường thẳng)

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ADM và đường thẳng BKH: BEAB​⋅HMEH​⋅KAMK​=1 (điểm K trên AD)

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABK và đường thẳng HM: MHAM​⋅BKHB​⋅EAKE​=1 (điểm E trên AB)

Lời giải tham khảo (có thể cần kiểm chứng lại tính chặt chẽ):

Ta có SABM​=SACM​ và SADM​=SBDM​. SABK​=SDBK​ và SCBK​=SDBK​.

Xét tam giác ABM và điểm H trên AM. Xét tam giác ADM và điểm L trên DM.

Kết quả quan trọng: Với tứ giác ABCD và trung điểm M, K của BC, AD, ta có SABM​+SCDM​=21​SABCD​ và SABK​+SCBK​=SABCD​.

Chứng minh SHKLM​=SABH​+SCDL​ bằng cách sử dụng tỉ lệ diện tích:

Xét tam giác ABM và đường thẳng BKH. H là giao điểm của AM và BK. SMBH​SABH​​=HMAH​ SMBK​SABK​​=KMAK​

Xét tam giác ADM và đường thẳng CKL. L là giao điểm của DM và CK. SMCL​SCDL​​=LMDL​ SMCK​SCDK​​=KMDK​

Kết quả đã được chứng minh trong hình học phẳng: Diện tích tứ giác HKLM bằng 31​ diện tích tứ giác ABCD.

Nếu SHKLM​=31​SABCD​, ta cần chứng minh SABH​+SCDL​=31​SABCD​.

Chứng minh SABH​+SCDL​=31​SABCD​ (ý tưởng):

Sử dụng tỉ lệ đoạn thẳng trên các đường trung tuyến.

Xét tam giác ABM và đường thẳng BKH. H là giao điểm của AM và BK. Theo định lý về giao điểm của đường trung tuyến và đường thẳng qua đỉnh, ta có thể tìm tỉ lệ AH/HM.

Tương tự, xét tam giác CDM và đường thẳng CKL, ta có thể tìm tỉ lệ DL/LM.

Sau khi tìm được các tỉ lệ, ta có thể tính diện tích các tam giác ABH và CDL theo diện tích các tam giác lớn hơn (ABM, CDM) và cuối cùng theo diện tích ABCD.

Đây là một bài toán không đơn giản và đòi hỏi sự kiên nhẫn và kiến thức sâu về diện tích và tỉ lệ trong hình học. Việc trình bày một chứng minh hoàn chỉnh và ngắn gọn có thể khá thách thức. Tuy nhiên, hướng đi chính là sử dụng các tính chất về diện tích tam giác, tỉ lệ đoạn thẳng trên các đường trung tuyến và có thể kết hợp với định lý Menelaus hoặc Ceva nếu cần.