a) Tính khoảng cách giữa hai đường SA và BC
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Quảng cáo
1 câu trả lời 181
Câu a) Tính khoảng cách giữa hai đường SA và BC
Chúng ta có một hình chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = 2a, SA = a, và SA vuông góc với đáy ABC. Ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Bước 1: Xác định các điểm trong không gian
Gọi A là gốc tọa độ, tức là
𝐴
(
0
,
0
,
0
)
A(0,0,0).
Do tam giác ABC vuông cân tại A và AB = 2a, ta có thể đặt các điểm B và C theo tọa độ như sau:
𝐵
(
2
𝑎
,
0
,
0
)
B(2a,0,0) (vì AB = 2a và nằm trên trục Ox).
𝐶
(
0
,
2
𝑎
,
0
)
C(0,2a,0) (vì AC = 2a và nằm trên trục Oy).
Điểm S có tọa độ
𝑆
(
0
,
0
,
𝑎
)
S(0,0,a) vì SA = a và SA vuông góc với đáy ABC (trục Oz).
Bước 2: Phương trình của các đường thẳng
Đường thẳng SA đi qua điểm
𝑆
(
0
,
0
,
𝑎
)
S(0,0,a) và
𝐴
(
0
,
0
,
0
)
A(0,0,0), vì vậy phương trình của SA là:
SA:
𝑟
⃗
=
(
0
,
0
,
𝑎
)
𝑡
,
𝑡
∈
𝑅
SA:
r
=(0,0,a)t,t∈R
(SA có vector phương
𝑣
𝑆
𝐴
⃗
=
(
0
,
0
,
𝑎
)
v
SA
=(0,0,a)).
Đường thẳng BC đi qua điểm
𝐵
(
2
𝑎
,
0
,
0
)
B(2a,0,0) và
𝐶
(
0
,
2
𝑎
,
0
)
C(0,2a,0), vì vậy vector phương của BC là
𝑣
𝐵
𝐶
⃗
=
(
−
2
𝑎
,
2
𝑎
,
0
)
v
BC
=(−2a,2a,0).
Phương trình của BC:
BC:
𝑟
⃗
=
(
2
𝑎
,
0
,
0
)
+
𝑡
(
−
2
𝑎
,
2
𝑎
,
0
)
,
𝑡
∈
𝑅
BC:
r
=(2a,0,0)+t(−2a,2a,0),t∈R
Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau được tính theo công thức:
𝑑
=
∣
𝑣
𝑆
𝐴
⃗
×
𝑣
𝐵
𝐶
⃗
⋅
𝑃
𝐴
⃗
∣
∣
𝑣
𝑆
𝐴
⃗
×
𝑣
𝐵
𝐶
⃗
∣
d=
∣
v
SA
×
v
BC
∣
∣
v
SA
×
v
BC
⋅
PA
∣
Trong đó
𝑃
𝐴
⃗
PA
là vector nối điểm P (thuộc đường thẳng BC) đến điểm A.
Tính tích có hướng
𝑣
𝑆
𝐴
⃗
×
𝑣
𝐵
𝐶
⃗
v
SA
×
v
BC
:
𝑣
𝑆
𝐴
⃗
=
(
0
,
0
,
𝑎
)
,
𝑣
𝐵
𝐶
⃗
=
(
−
2
𝑎
,
2
𝑎
,
0
)
v
SA
=(0,0,a),
v
BC
=(−2a,2a,0)
𝑣
𝑆
𝐴
⃗
×
𝑣
𝐵
𝐶
⃗
=
∣
𝑖
^
𝑗
^
𝑘
^
0
0
𝑎
−
2
𝑎
2
𝑎
0
∣
=
(
2
𝑎
2
,
2
𝑎
2
,
0
)
v
SA
×
v
BC
=
i
^
0
−2a
j
^
0
2a
k
^
a
0
=(2a
2
,2a
2
,0)
Vậy,
𝑣
𝑆
𝐴
⃗
×
𝑣
𝐵
𝐶
⃗
=
(
2
𝑎
2
,
2
𝑎
2
,
0
)
v
SA
×
v
BC
=(2a
2
,2a
2
,0).
Tiếp theo, tính
∣
𝑣
𝑆
𝐴
⃗
×
𝑣
𝐵
𝐶
⃗
∣
∣
v
SA
×
v
BC
∣:
∣
𝑣
𝑆
𝐴
⃗
×
𝑣
𝐵
𝐶
⃗
∣
=
(
2
𝑎
2
)
2
+
(
2
𝑎
2
)
2
+
0
2
=
8
𝑎
4
=
2
𝑎
2
2
∣
v
SA
×
v
BC
∣=
(2a
2
)
2
+(2a
2
)
2
+0
2
=
8a
4
=2a
2
2
Vector
𝑃
𝐴
⃗
=
𝐴
−
𝑃
PA
=A−P, trong đó P là điểm bất kỳ trên đường BC. Chọn P là điểm B, nên
𝑃
𝐴
⃗
=
𝐴
−
𝐵
=
(
0
,
0
,
0
)
−
(
2
𝑎
,
0
,
0
)
=
(
−
2
𝑎
,
0
,
0
)
PA
=A−B=(0,0,0)−(2a,0,0)=(−2a,0,0).
Tính tích vô hướng
𝑣
𝑆
𝐴
⃗
×
𝑣
𝐵
𝐶
⃗
⋅
𝑃
𝐴
⃗
v
SA
×
v
BC
⋅
PA
:
(
2
𝑎
2
,
2
𝑎
2
,
0
)
⋅
(
−
2
𝑎
,
0
,
0
)
=
2
𝑎
2
×
(
−
2
𝑎
)
+
2
𝑎
2
×
0
+
0
×
0
=
−
4
𝑎
3
(2a
2
,2a
2
,0)⋅(−2a,0,0)=2a
2
×(−2a)+2a
2
×0+0×0=−4a
3
Cuối cùng, tính khoảng cách:
𝑑
=
∣
−
4
𝑎
3
∣
2
𝑎
2
2
=
4
𝑎
3
2
𝑎
2
2
=
2
𝑎
2
=
𝑎
2
d=
2a
2
2
∣−4a
3
∣
=
2a
2
2
4a
3
=
2
2a
=a
2
Vậy, khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là
𝑎
2
a
2
.
Câu b) Tính thể tích khối chóp S.ABC
Để tính thể tích của hình chóp, ta sử dụng công thức:
𝑉
=
1
3
×
Diện t
ı
ˊ
ch đ
a
ˊ
y
×
Chi
e
ˆ
ˋ
u cao
V=
3
1
×Diện t
ı
ˊ
ch đ
a
ˊ
y×Chi
e
ˆ
ˋ
u cao
Bước 1: Diện tích đáy ABC
Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, với các cạnh AB = AC = 2a.
Diện tích tam giác vuông cân được tính theo công thức:
𝐴
𝐴
𝐵
𝐶
=
1
2
×
𝐴
𝐵
×
𝐴
𝐶
=
1
2
×
2
𝑎
×
2
𝑎
=
2
𝑎
2
A
ABC
=
2
1
×AB×AC=
2
1
×2a×2a=2a
2
Bước 2: Chiều cao của hình chóp
Chiều cao của hình chóp là khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy ABC. Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy, chiều cao của hình chóp chính là độ dài đoạn SA, tức là a.
Bước 3: Tính thể tích
Áp dụng công thức tính thể tích:
𝑉
=
1
3
×
2
𝑎
2
×
𝑎
=
2
𝑎
3
3
V=
3
1
×2a
2
×a=
3
2a
3
Vậy, thể tích của khối chóp S.ABC là
2
𝑎
3
3
3
2a
3
.
Kết luận:
Khoảng cách giữa hai đường SA và BC là
𝑎
2
a
2
.
Thể tích của khối chóp S.ABC là
2
𝑎
3
3
3
2a
3
.
Quảng cáo