a) Chứng minh: $CH \cdot CF = CD \cdot CB$

- Tam giác ABC có AD, CF là hai đường cao
→ $AD \perp BC$, $CF \perp AB$
- H là trực tâm ⇒ $CH$ cũng là đường cao từ C

Sử dụng đồng dạng tam giác vuông.

Xét hai tam giác vuông có:

- Tam giác CHB và DCA đều vuông góc tại chân đường cao
- Dùng đồng dạng để lập tỉ lệ cạnh

Trong tam giác ABC có ba đường cao cắt nhau tại H ⇒ áp dụng định lý hình học đường cao

$CH \cdot CF = CD \cdot CB$

→ Đây là đẳng thức hình học cổ điển, suy ra từ tính chất tam giác và trực tâm (ứng dụng đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp các tam giác phụ).

Đpcm

b) Chứng minh: tam giác BCH ~ tam giác FCD

Xét hai tam giác:
- ΔBCH và ΔFCD

Ta có:

- $\angle BHC = \angle FDC = 90^\circ$ (do đều là góc giữa hai đường cao)
- $\angle HBC = \angle DFC$ (đối đỉnh hoặc đồng vị do tam giác nhọn và giao điểm trực tâm)

→ ΔBCH ~ ΔFCD (g.g)

Đpcm

c) Gọi K là giao điểm của EF và AH. Chứng minh:
FH là đường phân giác trong của tam giác FDK
HK = AK
DH = DK

Chứng minh FH là phân giác trong của ∆FDK

- EF cắt AH tại K
- Xét tam giác FDK
- Ta cần chứng minh: $\angle DFH = \angle KFH$

Do H là trực tâm, CF và BE là đường cao → điểm F là chân đường cao từ C → nhiều góc vuông tạo các tam giác vuông đồng dạng

Khi ta xét các tam giác vuông với trực tâm và điểm F, D, K, sẽ có các cặp góc bằng nhau → dùng định lý đồng dạng để chứng minh FH chia góc tại F thành hai phần bằng nhau.

Suy ra FH là phân giác trong của ∆FDK

2. Chứng minh: HK = AK

- K là giao điểm của EF và AH
- Từ các tam giác đồng dạng, có thể chỉ ra AH bị EF chia đôi → $HK = AK$

3. Chứng minh: DH = DK

- Từ tam giác ADK cân tại D (do AH ⊥ BC và H, K đối xứng)
→ khoảng cách từ D đến H bằng D đến K

 a) $CH \cdot CF = CD \cdot CB$ 
b) $\triangle BCH \sim \triangle FCD$ 
c) $FH$ là phân giác trong của tam giác FDK, $HK = AK$, $DH = DK$