Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh: \( AB + AC - BC = 2AE \)

Vì \( I \) là tâm đường tròn nội tiếp, nên:

- \( ID \), \( IE \), \( IF \) (với \( F \in BC \)) là bán kính đường tròn nội tiếp
- \( ID = IE = r \) (bán kính)
- \( AE = AC - EC = AC - r \)
- \( AD = AB - BD = AB - r \)

Ta có chu vi tam giác \( ABC \) là:
\[
AB + AC + BC
\]

Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với 3 cạnh nên tổng khoảng cách từ I đến các cạnh là:
\[
ID + IE + IF = 3r
\]

Tuy nhiên, ta có công thức độ dài từ tâm đường tròn nội tiếp đến các cạnh:

- \( AB + AC - BC = 2r \)
(Là công thức quen dùng khi tam giác vuông tại A và \( r \) là bán kính đường tròn nội tiếp)

Vì \( AE = r \), nên:

\[
AB + AC - BC = 2r = 2AE
\]

Đpcm

b) Cho \( AB = 6 \), \( AC = 8 \), tính \( IA, IB, IC \)

Tam giác vuông tại A ⇒ \( BC \) là cạnh huyền:

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
\]

Dùng công thức bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông:

\[
r = \frac{AB + AC - BC}{2} = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2
\]

→ \( ID = IE = IF = r = 2 \)

Dùng công thức tính khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp đến 3 đỉnh:

Tâm I có tọa độ (nếu cần):
\[
I = (r, r) = (2, 2) \quad \text{(vì trong tam giác vuông tại A, tâm I luôn cách các cạnh góc vuông một khoảng bằng r)}
\]

Giả sử đặt tam giác vuông ABC vào hệ tọa độ:

- \( A(0,0) \), \( B(6,0) \), \( C(0,8) \)

Khi đó:
- \( I = (2,2) \)
- \( IA = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
- \( IB = \sqrt{(2-6)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
- \( IC = \sqrt{(2-0)^2 + (2-8)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \)

- \( IA = \boxed{2\sqrt{2}} \, \text{cm} \)
- \( IB = \boxed{2\sqrt{5}} \, \text{cm} \)
- \( IC = \boxed{2\sqrt{10}} \, \text{cm} \)

...Xem thêm

Answer 2