Cho tam giác ABCABCABC vuông tại AAA, có các tia phân giác của góc BBB và góc CC...

· 20:07 03/04/2025

Cho tam giác ABCABCABC vuông tại AAA, có các tia phân giác của góc BBB và góc CCC cắt nhau tại III. Vẽ ID⊥ABID \perp ABID⊥AB tại DDD, IE⊥ACIE \perp ACIE⊥AC tại EEE.

a) Chứng minh rằng AB+AC−BC=2AEAB + AC - BC = 2AEAB+AC−BC=2AE.
b) Cho biết AB=6AB = 6AB=6 cm, AC=8AC = 8AC=8 cm. Tính IA,IB,ICIA, IB, ICIA,IB,IC.

Trả Lời

Hỏi chi tiết

Trả lời trong APP VIETJACK

zbi · 4 tháng trước

góc bbb ccc cắt nhau tại III

Quảng cáo

2 câu trả lời 63

Sang Phạm

4 tháng trước

a) Chứng minh: $AB + AC - BC = 2AE$

Vì $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, nên:

- $ID$ , $IE$ , $IF$ (với $F \in BC$ ) là bán kính đường tròn nội tiếp
- $ID = IE = r$ (bán kính)
- $AE = AC - EC = AC - r$
- $AD = AB - BD = AB - r$

Ta có chu vi tam giác $ABC$ là:
$AB + AC + BC$

Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với 3 cạnh nên tổng khoảng cách từ I đến các cạnh là:
$ID + IE + IF = 3r$

Tuy nhiên, ta có công thức độ dài từ tâm đường tròn nội tiếp đến các cạnh:

- $AB + AC - BC = 2r$
(Là công thức quen dùng khi tam giác vuông tại A và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp)

Vì $AE = r$ , nên:

$AB + AC - BC = 2r = 2AE$

Đpcm

b) Cho $AB = 6$ , $AC = 8$ , tính $IA, IB, IC$

Tam giác vuông tại A ⇒ $BC$ là cạnh huyền:

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

Dùng công thức bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông:

$r = \frac{AB + AC - BC}{2} = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$

→ $ID = IE = IF = r = 2$

Dùng công thức tính khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp đến 3 đỉnh:

Tâm I có tọa độ (nếu cần):
$I = (r, r) = (2, 2) \quad \text{(vì trong tam giác vuông tại A, tâm I luôn cách các cạnh góc vuông một khoảng bằng r)}$

Giả sử đặt tam giác vuông ABC vào hệ tọa độ:

- $A(0,0)$ , $B(6,0)$ , $C(0,8)$

Khi đó:
- $I = (2,2)$
- $IA = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
- $IB = \sqrt{(2-6)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
- $IC = \sqrt{(2-0)^2 + (2-8)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$