Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh \( \dfrac{FA}{FC} = \dfrac{AB}{AC} \)

- \( EF \parallel AB \), cắt \( AC \) tại \( F \)
→ Từ đó, ta có tam giác đồng dạng

Chứng minh:

Vì \( EF \parallel AB \), nên ta có:

- \( \angle AEF = \angle ABE \) (đồng vị)
- \( \angle AFE = \angle ABE \) (so le trong)

⇒ Tam giác \( AEF \sim \triangle ABE \) (g.g)

→ Tỷ số đồng dạng:

\[
\frac{FA}{FC} = \frac{AB}{AC} \quad \text{(do E nằm trên BC)}
\]

Đpcm

b) Vẽ \( FH \perp AE \) tại \( H \), gọi \( K \) là trung điểm của \( EC \). Chứng minh \( HK \parallel AC \)

- \( FH \perp AE \), ta đang quan tâm đến tam giác vuông tại \( H \)
- \( K \) là trung điểm của \( EC \)
→ Gợi ý: dùng trung tuyến nối từ H đến trung điểm K, và chứng minh đồng dạng hoặc song song

Xét tam giác \( EFC \), có:

- \( K \) là trung điểm \( EC \)
- \( H \) thuộc \( FH \perp AE \)
- \( EF \parallel AB \Rightarrow EF \parallel AC \)

Suy ra: \( \angle EFH = \angle CAB \)

Tam giác \( EFH \) là tam giác nhỏ bên trong, mà \( K \) là trung điểm \( EC \), ta chứng minh:

→ Tứ giác \( HFCK \) có đường chéo cắt nhau tại trung điểm ⇒ hình thang cân hoặc chứng minh bằng hệ thức trung điểm

Dùng định lý trung điểm:

Trong tam giác \( EFC \):

- \( K \) là trung điểm của \( EC \)
- \( H \) là chân đường vuông góc từ \( F \) đến \( AE \)
- Mà \( AE \) là phân giác và \( EF \parallel AB \Rightarrow EF \parallel AC \)

⇒ \( HK \parallel AC \) theo định lý trung điểm (nối trung điểm và chân đường cao từ cạnh đối diện song song với cạnh còn lại)

a) \( \dfrac{FA}{FC} = \dfrac{AB}{AC} \)
b) \( HK \parallel AC \)

...Xem thêm

Answer 2

a) Chứng minh \( \dfrac{FA}{FC} = \dfrac{AB}{AC} \)

- \( EF \parallel AB \), cắt \( AC \) tại \( F \)
→ Từ đó, ta có tam giác đồng dạng

Chứng minh:

Vì \( EF \parallel AB \), nên ta có:

- \( \angle AEF = \angle ABE \) (đồng vị)
- \( \angle AFE = \angle ABE \) (so le trong)

⇒ Tam giác \( AEF \sim \triangle ABE \) (g.g)

→ Tỷ số đồng dạng:

\[
\frac{FA}{FC} = \frac{AB}{AC} \quad \text{(do E nằm trên BC)}
\]

Đpcm

b) Vẽ \( FH \perp AE \) tại \( H \), gọi \( K \) là trung điểm của \( EC \). Chứng minh \( HK \parallel AC \)

- \( FH \perp AE \), ta đang quan tâm đến tam giác vuông tại \( H \)
- \( K \) là trung điểm của \( EC \)
→ Gợi ý: dùng trung tuyến nối từ H đến trung điểm K, và chứng minh đồng dạng hoặc song song

Xét tam giác \( EFC \), có:

- \( K \) là trung điểm \( EC \)
- \( H \) thuộc \( FH \perp AE \)
- \( EF \parallel AB \Rightarrow EF \parallel AC \)

Suy ra: \( \angle EFH = \angle CAB \)

Tam giác \( EFH \) là tam giác nhỏ bên trong, mà \( K \) là trung điểm \( EC \), ta chứng minh:

→ Tứ giác \( HFCK \) có đường chéo cắt nhau tại trung điểm ⇒ hình thang cân hoặc chứng minh bằng hệ thức trung điểm

Dùng định lý trung điểm:

Trong tam giác \( EFC \):

- \( K \) là trung điểm của \( EC \)
- \( H \) là chân đường vuông góc từ \( F \) đến \( AE \)
- Mà \( AE \) là phân giác và \( EF \parallel AB \Rightarrow EF \parallel AC \)

⇒ \( HK \parallel AC \) theo định lý trung điểm (nối trung điểm và chân đường cao từ cạnh đối diện song song với cạnh còn lại)

a) \( \dfrac{FA}{FC} = \dfrac{AB}{AC} \)
b) \( HK \parallel AC \)

Answer 3

a) Chứng minh FA/FC = AB/AC

Xét tam giác ABC có EF // AB (giả thiết).

Theo định lý Ta-lét, ta có tỉ lệ: FA/FC = BE/EC (1)

Xét tam giác ABC có AE là đường phân giác của góc BAC (giả thiết).

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác
ta có tỉ lệ: BE/EC = AB/AC (2)

Từ (1) và (2), suy ra: FA/FC = AB/AC (điều phải chứng minh)

b) Chứng minh HK // AC

Vì EF // AB (giả thiết) và AE là đường phân giác góc BAC, ta có:

Góc BAE = Góc CAE (AE là phân giác)

Góc AEF = Góc BAE (hai góc so le trong do EF // AB)
=>

Góc CAE = Góc AEF.

Do đó, tam giác AFE cân tại F

Xét tam giác cân AFE có FH là đường cao ứng với cạnh đáy AE (do FH ⊥ AE tại H)

Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra FH cũng là đường trung tuyến của tam giác AFE ứng với cạnh AE.

Do đó, H là trung điểm của AE.

Xét tam giác AEC có:

H là trung điểm của AE (chứng minh trên).

K là trung điểm của EC (giả thiết).

Suy ra HK là đường trung bình của tam giác AEC.

Theo tính chất đường trung bình của tam giác, HK song song với cạnh còn lại của tam giác là AC.

Vậy, HK // AC (dpcm)