Chào bạn, đây là lời giải chi tiết cho bài toán của bạn:

Cho tam giác DEF cân tại D, đường cao DH. Trên tia đối của HD lấy điểm M sao cho MD = DH.

a) Chứng minh DF = FM:

Xét tam giác DHF và tam giác DMF có:DH = DM (gt)
Góc HDF = góc MDF (đối đỉnh)
DF chung
Suy ra tam giác DHF = tam giác DMF (c.g.c)
Suy ra DF = FM (hai cạnh tương ứng)
b) Trên tia đối của tia FE lấy điểm I sao cho FI = EF. Chứng minh IE là tia phân giác của góc FEM:

Vì tam giác DEF cân tại D, nên DE = DF và góc DEF = góc DFE.
Vì tam giác DHF = tam giác DMF (cmt), nên góc DFH = góc DMF.
Suy ra góc DEF = góc DMF.
Xét tam giác DEF và tam giác MIF có:EF = IF (gt)
Góc DEF = góc MIF (đối đỉnh)
DF = MF (cmt)
Suy ra tam giác DEF = tam giác MIF (c.g.c)
Suy ra góc FDE = góc FMI (hai góc tương ứng)
Ta có:Góc DEI = góc DEF + góc FEI
Góc MEI = góc MEF + góc FEI
Vì góc DEF = góc MEF (cmt) và góc FEI chung, suy ra góc DEI = góc MEI.
Vậy IE là tia phân giác của góc DEM.
Kết luận:

DF = FM
IE là tia phân giác của góc DEM.

Trong tam giác \( \triangle DEF \) là tam giác cân tại \( D \), tức là \( DE = DF \). Đường cao \( DH \) từ \( D \) xuống cạnh \( EF \) và điểm \( M \) là điểm trên tia đối của \( DH \) sao cho \( MD = DH \).

 a. Chứng minh \( DF = FM \)

1. Xem xét \( \triangle DHM \):
- Vì \( M \) được chọn sao cho \( MD = DH \), ta có \( MD = DH \).

2. Tam giác \( DFE \)** là tam giác cân, \( DE = DF \).

3. Ta có:
\[
DF = DH + HF
\]
và \( MD = DH \).

4. Suy ra:
- Nếu nối điểm \( F \) với \( M \) thì theo định nghĩa \( M \) là điểm trên tia đối của \( DH \) ta có \( DF = FM \) do sự tương đồng của các cạnh và đối xứng qua điểm \( D \).

Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng \( DF = FM \).

b. Chứng minh \( IE \) là tia đối của \( FE \)

1. Xem xét điểm \( I \):
- Điểm \( I \) được lấy trên tia đối của tia \( FE \) sao cho \( FI = EF \).

2. Từ \( FI = EF \), suy ra \( E \) là trung điểm của đoạn thẳng \( FI \).

3. Do \( DF = FM \)đã được chứng minh ở phần trước, ta thấy rằng đường nối \( I \) với \( E \) sẽ tạo thành một góc 90 độ với \( FE \).

4. Suy ra:
- \( IE \) sẽ là tia tiếp tuyến vuông góc với \( FE \), tức là một tia phân giác của góc \( FEI \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( IE \) là tia phân giác cũng như là tia đối của tia \( FE \).

Và đó là các chứng minh cho bài toán. Nếu cần thêm bất kỳ điều gì hoặc có gauss khác, bạn có thể hỏi thêm nhé!