Chào bạn, đây là lời giải chi tiết cho bài toán của bạn:

Cho tam giác DEF cân tại D, đường cao DH. Trên tia đối của HD lấy điểm M sao cho MD = DH.

a) Chứng minh DF = FM:

Xét tam giác DHF và tam giác DMF có:DH = DM (gt)
Góc HDF = góc MDF (đối đỉnh)
DF chung
Suy ra tam giác DHF = tam giác DMF (c.g.c)
Suy ra DF = FM (hai cạnh tương ứng)
b) Trên tia đối của tia FE lấy điểm I sao cho FI = EF. Chứng minh IE là tia phân giác của góc FEM:

Vì tam giác DEF cân tại D, nên DE = DF và góc DEF = góc DFE.
Vì tam giác DHF = tam giác DMF (cmt), nên góc DFH = góc DMF.
Suy ra góc DEF = góc DMF.
Xét tam giác DEF và tam giác MIF có:EF = IF (gt)
Góc DEF = góc MIF (đối đỉnh)
DF = MF (cmt)
Suy ra tam giác DEF = tam giác MIF (c.g.c)
Suy ra góc FDE = góc FMI (hai góc tương ứng)
Ta có:Góc DEI = góc DEF + góc FEI
Góc MEI = góc MEF + góc FEI
Vì góc DEF = góc MEF (cmt) và góc FEI chung, suy ra góc DEI = góc MEI.
Vậy IE là tia phân giác của góc DEM.
Kết luận:

DF = FM
IE là tia phân giác của góc DEM.

Trong tam giác $\triangle DEF$ là tam giác cân tại $D$, tức là $DE = DF$. Đường cao $DH$ từ $D$ xuống cạnh $EF$ và điểm $M$ là điểm trên tia đối của $DH$ sao cho $MD = DH$.

 a. Chứng minh $DF = FM$

1. Xem xét $\triangle DHM$:
- Vì $M$ được chọn sao cho $MD = DH$, ta có $MD = DH$.

2. Tam giác $DFE$** là tam giác cân, $DE = DF$.

3. Ta có:
$DF = DH + HF$
và $MD = DH$.

4. Suy ra:
- Nếu nối điểm $F$ với $M$ thì theo định nghĩa $M$ là điểm trên tia đối của $DH$ ta có $DF = FM$ do sự tương đồng của các cạnh và đối xứng qua điểm $D$.

Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng $DF = FM$.

b. Chứng minh $IE$ là tia đối của $FE$

1. Xem xét điểm $I$:
- Điểm $I$ được lấy trên tia đối của tia $FE$ sao cho $FI = EF$.

2. Từ $FI = EF$, suy ra $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $FI$.

3. Do $DF = FM$đã được chứng minh ở phần trước, ta thấy rằng đường nối $I$ với $E$ sẽ tạo thành một góc 90 độ với $FE$.

4. Suy ra:
- $IE$ sẽ là tia tiếp tuyến vuông góc với $FE$, tức là một tia phân giác của góc $FEI$.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng $IE$ là tia phân giác cũng như là tia đối của tia $FE$.

Và đó là các chứng minh cho bài toán. Nếu cần thêm bất kỳ điều gì hoặc có gauss khác, bạn có thể hỏi thêm nhé!