Chúng ta có tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), với \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \).

 a) Chứng minh tam giác \( HBA \) đồng dạng tam giác \( ABC \)

Để chứng minh hai tam giác \( HBA \) và \( ABC \) đồng dạng, ta sẽ xem xét các góc tương ứng.

1. Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \): Ta có \( \angle A = 90^\circ \).
2. Tam giác \( HBA \):
- Tại điểm \( H \) là chân đường cao, nên \( AH \perp BC \), dẫn đến \( \angle HAB = 90^\circ \).

Như vậy, chúng ta có:

- \( \angle A = \angle HAB = 90^\circ \)
- \( \angle HBA \) là góc giữa cạnh \( BA \) và \( AH \), trong khi \( \angle ABC \) là góc giữa cạnh \( AB \) và cạnh \( BC \).

Vì góc tại \( B \) trong hai tam giác \( HBA \) và \( ABC \) đều là góc ngoài của tam giác, nên ta có:

\[
\angle HBA = \angle ABC
\]

Như vậy, các góc trong hai tam giác có quan hệ như sau:

- \( \angle HBA = \angle ABC \)
- \( \angle HAB = \angle A = 90^\circ \)

Do đó, theo quy tắc góc-góc (AA), ta có:

\[
\triangle HBA \sim \triangle ABC
\]

 b) Chứng minh \( AH^2 = HB \times HC \)

Vì hai tam giác \( HBA \) và \( ABC \) đồng dạng, ta có tỷ lệ giữa các cạnh tương ứng:

\[
\frac{AH}{AB} = \frac{HB}{BC}
\]

Khi suy ra từ đồng dạng, ta có:

\[
\frac{AH}{AB} = \frac{HC}{AC}
\]

Gọi \( AB = c \), \( AC = b \), và \( BC = a \). Từ dấu hiệu đồng dạng, ta thấy:

1. Từ \( \triangle HBA \sim \triangle ABC \):

\[
\frac{AH}{AB} = \frac{HB}{BC} \Rightarrow AH = \frac{HB \cdot AB}{BC} = \frac{HB \cdot a}{c}
\]

2. Từ \( \triangle HCA \sim \triangle ABC \):

\[
\frac{AH}{AC} = \frac{HC}{BC} \Rightarrow AH = \frac{HC \cdot AC}{BC} = \frac{HC \cdot b}{a}
\]

Do cả hai cách diễn giải \( AH \) đều cho cùng một kết quả, ta lấy các biểu thức \( AH \) và bình phương lên:

\[
AH^2 = \left( \frac{HB \cdot a}{c} \right) \cdot \left( \frac{HC \cdot b}{a} \right) \Rightarrow AH^2 = HB \cdot HC
\]

Khi đó, từ lý thuyết về hình học, ta có bất đẳng thức:

\[
AH^2 = HB \cdot HC
\]

Vậy ta đã chứng minh được \( AH^2 = HB \times HC \).

 Kết luận

- Ta đã chứng minh rằng hai tam giác \( HBA \) và \( ABC \) đồng dạng và \( AH^2 = HB \times HC \).