Chúng ta có tam giác $ABC$ vuông tại $A$, với $H$ là chân đường cao từ $A$ xuống cạnh $BC$.

 a) Chứng minh tam giác $HBA$ đồng dạng tam giác $ABC$

Để chứng minh hai tam giác $HBA$ và $ABC$ đồng dạng, ta sẽ xem xét các góc tương ứng.

1. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$: Ta có $\angle A = 90^\circ$.
2. Tam giác $HBA$:
- Tại điểm $H$ là chân đường cao, nên $AH \perp BC$, dẫn đến $\angle HAB = 90^\circ$.

Như vậy, chúng ta có:

- $\angle A = \angle HAB = 90^\circ$
- $\angle HBA$ là góc giữa cạnh $BA$ và $AH$, trong khi $\angle ABC$ là góc giữa cạnh $AB$ và cạnh $BC$.

Vì góc tại $B$ trong hai tam giác $HBA$ và $ABC$ đều là góc ngoài của tam giác, nên ta có:

$\angle HBA = \angle ABC$

Như vậy, các góc trong hai tam giác có quan hệ như sau:

- $\angle HBA = \angle ABC$
- $\angle HAB = \angle A = 90^\circ$

Do đó, theo quy tắc góc-góc (AA), ta có:

$\triangle HBA \sim \triangle ABC$

 b) Chứng minh $AH^2 = HB \times HC$

Vì hai tam giác $HBA$ và $ABC$ đồng dạng, ta có tỷ lệ giữa các cạnh tương ứng:

$\frac{AH}{AB} = \frac{HB}{BC}$

Khi suy ra từ đồng dạng, ta có:

$\frac{AH}{AB} = \frac{HC}{AC}$

Gọi $AB = c$, $AC = b$, và $BC = a$. Từ dấu hiệu đồng dạng, ta thấy:

1. Từ $\triangle HBA \sim \triangle ABC$:

$\frac{AH}{AB} = \frac{HB}{BC} \Rightarrow AH = \frac{HB \cdot AB}{BC} = \frac{HB \cdot a}{c}$

2. Từ $\triangle HCA \sim \triangle ABC$:

$\frac{AH}{AC} = \frac{HC}{BC} \Rightarrow AH = \frac{HC \cdot AC}{BC} = \frac{HC \cdot b}{a}$

Do cả hai cách diễn giải $AH$ đều cho cùng một kết quả, ta lấy các biểu thức $AH$ và bình phương lên:

$AH^2 = \left( \frac{HB \cdot a}{c} \right) \cdot \left( \frac{HC \cdot b}{a} \right) \Rightarrow AH^2 = HB \cdot HC$

Khi đó, từ lý thuyết về hình học, ta có bất đẳng thức:

$AH^2 = HB \cdot HC$

Vậy ta đã chứng minh được $AH^2 = HB \times HC$.

 Kết luận

- Ta đã chứng minh rằng hai tam giác $HBA$ và $ABC$ đồng dạng và $AH^2 = HB \times HC$.