Quảng cáo
2 câu trả lời 191
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M = \frac{1}{a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{16c} \) với điều kiện \( a + b + c = 1 \) và \( a, b, c > 0 \), chúng ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Ta có:
\[
M = \frac{1}{a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{16c}
\]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:
\[
\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{16c} \right) \left( a + 4b + 16c \right) \geq (1 + 1 + 1)^2 = 9
\]
Từ đó, ta có:
\[
M (a + 4b + 16c) \geq 9
\]
Chúng ta cần tìm giá trị của \( a + 4b + 16c \). Với \( a + b + c = 1 \), có thể bày tỏ \( c = 1 - a - b \). Thay vào biểu thức của \( M \):
\[
M \cdot (a + 4b + 16c) = M \cdot (a + 4b + 16(1 - a - b)) = M \cdot (a + 4b + 16 - 16a - 16b)
\]
\[
= M(16 - 15a - 12b)
\]
Để tính toán điều này cho \( M \), ta phải tìm các hệ số hợp lý. Thử sử dụng phương pháp Lagrange multiplier hoặc giải bằng cách giả sử các số \( a, b, c \) có tỉ lệ nào đó thích hợp.
Để đơn giản hơn, thử nghiệm với \( a = 4b = 16c \). Gọi \( c = x \). Vậy:
\[
b = 4x, \quad a = 16x
\]
Thay vào điều kiện \( a + b + c = 1 \):
\[
16x + 4x + x = 21x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{21}
\]
Do đó, từ đó:
\[
c = \frac{1}{21}, \quad b = \frac{4}{21}, \quad a = \frac{16}{21}
\]
Thay vào biểu thức \( M \):
\[
M = \frac{1}{\frac{16}{21}} + \frac{1}{4 \cdot \frac{4}{21}} + \frac{1}{16 \cdot \frac{1}{21}} = \frac{21}{16} + \frac{21}{16} + \frac{21}{16} = \frac{21 \cdot 3}{16} = \frac{63}{16}
\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M \) là:
\[
\boxed{\frac{63}{16}}
\]
Quảng cáo
Bạn muốn hỏi bài tập?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
107278
-
Hỏi từ APP VIETJACK67830
-
44998
-
38171
-
zytera
1325 điểm
-
Dương Nguyễn
960 điểm
-
보고 싶어요
855 điểm
-
돈이없다 💸😭
815 điểm
-
우옌 ✨
790 điểm
-
`d.`
635 điểm
-
`color{blue}text{HuyTùng.`
555 điểm
-
౨ৎ𝘉ắ𝘱ت𝘭𝘶ộ𝘤تđê⋅˚₊‧ ଳ⋆.࿔*:･🌽
540 điểm
-
주디 홉스닉주디🥵👍
520 điểm
-
‧₊˚✩ ₊˚🎧⊹♡≽☁˚˖ִ໋🌷͙֒✧˚.🎀༘⋆⋅♡👾đẹρ-†®åî⋆⭒💫
435 điểm
-
Ngọc Linh hay nói linh tinh
385 điểm
-
Kiều Anh 350 điểm
-
누가 고철을 팔고 싶어할까요🗑️🗑️
345 điểm
-
Bích Hồng 345 điểm
Rút gọn
Bài viết mới nhất Lớp 8
-
3 năm trước8220
-
3 năm trước7732
-
3 năm trước6571
-
3 năm trước6459
-
3 năm trước6291
