Chúng ta sẽ chứng minh các phần được yêu cầu cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), với \(AB = 6 \, cm\), \(AC = 8 \, cm\) và điểm \(D\) trên cạnh \(AC\) sao cho \(AD = 4,5 \, cm\).

 a) Chứng minh tam giác \(ABC\) đồng dạng tam giác \(ADB\)

Để chứng minh hai tam giác \(ABC\) và \(ADB\) đồng dạng, chúng ta sẽ chứng minh rằng tỷ lệ giữa các cạnh tương ứng của chúng là bằng nhau, hoặc một trong các góc của tam giác này bằng một góc tương ứng trong tam giác kia.

1. Các góc:
- Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) => \(\angle A = 90^\circ\).
- Tam giác \(ADB\) có \(\angle A\) cũng bằng \(90^\circ\) (bởi vì \(A\) là đỉnh vuông).

2. Góc chung:
- Cả hai tam giác đều có góc \( \angle B \) là chung.

3. Suy ra:
- Ta có \(\angle ACB\) (trong tam giác \(ABC\)) và \(\angle ADB\) (trong tam giác \(ADB\)) là góc chung.
- Với hai góc vuông và một góc chung \(\Rightarrow\) \( \triangle ABC \sim \triangle ADB\) (theo tiêu chuẩn AA cho đồng dạng).

 b) Chứng minh \(AB^2 + AC^2 = AD^2 + DB^2\)

Để chứng minh \(ABC = ADB\) (tương đương với việc chứng minh \(AB^2 + AC^2 = AD^2 + DB^2\)), ta sẽ tính các cạnh.

1. Tính \(BC\):
- Theo định lý Pythagore:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, cm.
\]

2. Tính \(DB\):
- \(AC = AD + DC\).
- Ta có \(DC = AC - AD = 8 - 4,5 = 3,5\, cm\).
- Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác \(ADB\):
\[
DB = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{(4,5)^2 + (6)^2} = \sqrt{20,25 + 36} = \sqrt{56,25} = 7.5 \, cm.
\]

3. Kiểm tra công thức:
- Tính tổng:
\[
AD^2 + DB^2 = (4.5)^2 + (7.5)^2 = 20.25 + 56.25 = 76.5.
\]

- Tính tổng:
\[
AB^2 + AC^2 = (6)^2 + (8)^2 = 36 + 64 = 100.
\]

4. So sánh công thức:
Rõ ràng rằng \(ABC \neq ADB\) (vì chúng không bằng nhau, vì vậy cần được sửa đổi)
- Cần phải chỉ ra rằng tổng diện tích của tam giác \(ABC\) cũng bằng tổng diện tích của tam giác \(ADB\) bằng cách tính diện tích:

\[
diện tích ABC = \frac{1}{2}\cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 cm^2
\]
\[
diện tích ADB = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4.5 = 13.5 cm^2
\]

Do đó \(ABC \neq ADB\)

 Kết luận

- \(ABC\) đồng dạng với \(ADB\) (theo tiêu chuẩn AA).
- và để chứng minh diện tích ta dùng vị trí trên của diện tích cùng tỷ lệ hơn là phương pháp Pythagore.