Để tìm tất cả các giá trị nguyên của xxx sao cho biểu thức Q=2x−1x+2Q = \frac{2x - 1}{x + 2}Q=x+22x−1​ là một số nguyên, ta làm như sau:

Điều kiện đầu tiên là biểu thức có nghĩa, tức là mẫu số phải khác 0:

x+2≠0⇒x≠−2.x + 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -2.x+2=0⇒x=−2.Vậy ta loại trừ x=−2x = -2x=−2.

Tiếp theo, để Q=2x−1x+2Q = \frac{2x - 1}{x + 2}Q=x+22x−1​ là một số nguyên, điều này xảy ra khi tử số 2x−12x - 12x−1 chia hết cho mẫu số x+2x + 2x+2, tức là:

2x−1=k(x+2)2x - 1 = k(x + 2)2x−1=k(x+2)với kkk là một số nguyên.

Giải phương trình 2x−1=k(x+2)2x - 1 = k(x + 2)2x−1=k(x+2):

2x−1=kx+2k2x - 1 = kx + 2k2x−1=kx+2kChuyển các hạng tử về một phía:

2x−kx=2k+12x - kx = 2k + 12x−kx=2k+1 x(2−k)=2k+1x(2 - k) = 2k + 1x(2−k)=2k+1Vậy x=2k+12−kx = \frac{2k + 1}{2 - k}x=2−k2k+1​. Để xxx là một số nguyên, 2k+12k + 12k+1 phải chia hết cho 2−k2 - k2−k.

Thử các giá trị nguyên của kkk:

Khi k=1k = 1k=1:

x(2−1)=2(1)+1⇒x=31=3.x(2 - 1) = 2(1) + 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{1} = 3.x(2−1)=2(1)+1⇒x=13​=3.Vậy x=3x = 3x=3.
Khi k=2k = 2k=2:

x(2−2)=2(2)+1⇒0=5,x(2 - 2) = 2(2) + 1 \quad \Rightarrow \quad 0 = 5,x(2−2)=2(2)+1⇒0=5,điều này không đúng, nên không có giá trị xxx nào cho k=2k = 2k=2.
Khi k=0k = 0k=0:

x(2−0)=2(0)+1⇒2x=1⇒x=12,x(2 - 0) = 2(0) + 1 \quad \Rightarrow \quad 2x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2},x(2−0)=2(0)+1⇒2x=1⇒x=21​,nhưng xxx không phải là số nguyên.
Khi k=−1k = -1k=−1:

x(2−(−1))=2(−1)+1⇒3x=−1⇒x=−13,x(2 - (-1)) = 2(-1) + 1 \quad \Rightarrow \quad 3x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-1}{3},x(2−(−1))=2(−1)+1⇒3x=−1⇒x=3−1​,nhưng xxx không phải là số nguyên.
Vậy chỉ có giá trị x=3x = 3x=3 là thỏa mãn điều kiện.

Kết luận, giá trị nguyên duy nhất của x sao cho biểu thức QQQ là một số nguyên là x=3x = 3x=3.

Để tìm tất cả các giá trị nguyên của \( x \) sao cho biểu thức \( Q = \frac{2x - 1}{x + 2} \) là một số nguyên, chúng ta cần điều kiện mà tử số chia hết cho mẫu số. Tức là, tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho:

\[
Q = k \quad \Rightarrow \quad \frac{2x - 1}{x + 2} = k
\]

Điều này dẫn đến:

\[
2x - 1 = k(x + 2)
\]

Giải phương trình trên:

\[
2x - 1 = kx + 2k
\]

Sắp xếp lại các hạng tử:

\[
2x - kx = 2k + 1
\]

\[
(2 - k)x = 2k + 1
\]

Phương trình trên cho phép chúng ta tìm \( x \):

\[
x = \frac{2k + 1}{2 - k}
\]

Để \( x \) là số nguyên, mẫu số \( 2 - k \) phải khác 0 (tức là \( k \neq 2 \)), và \( 2k + 1 \) phải chia hết cho \( 2 - k \).

### Tính toán các giá trị nguyên của \( k \):

Chúng ta sẽ xem xét từng giá trị nguyên của \( k \):

1. **Nếu \( k = 0 \)**:
\[
x = \frac{2(0) + 1}{2 - 0} = \frac{1}{2} \quad \text{(không phải số nguyên)}
\]

2. **Nếu \( k = 1 \)**:
\[
x = \frac{2(1) + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3 \quad \text{(số nguyên)}
\]

3. **Nếu \( k = 3 \)**:
\[
x = \frac{2(3) + 1}{2 - 3} = \frac{6 + 1}{-1} = \frac{7}{-1} = -7 \quad \text{(số nguyên)}
\]

4. **Nếu \( k = -1 \)**:
\[
x = \frac{2(-1) + 1}{2 - (-1)} = \frac{-2 + 1}{3} = \frac{-1}{3} \quad \text{(không phải số nguyên)}
\]

5. **Nếu \( k = -2 \)**:
\[
x = \frac{2(-2) + 1}{2 - (-2)} = \frac{-4 + 1}{4} = \frac{-3}{4} \quad \text{(không phải số nguyên)}
\]

Tiếp tục thử nghiệm với các giá trị nguyên khác của \( k \):
- Khi \( k = 4 \):
\[
x = \frac{2(4) + 1}{2 - 4} = \frac{8 + 1}{-2} = \frac{9}{-2} \quad \text{(không phải số nguyên)}
\]

- Khi \( k = -3 \):
\[
x = \frac{2(-3) + 1}{2 + 3} = \frac{-6 + 1}{5} = \frac{-5}{5} = -1 \quad \text{(số nguyên)}
\]

Qua việc thử nghiệm các giá trị nguyên cho \( k \), chúng ta nhận được các giá trị cho \( x \) là:

- \( x = 3 \)
- \( x = -7 \)
- \( x = -1 \)

### Kết luận:
Tất cả các giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( Q = \frac{2x - 1}{x + 2} \) là số nguyên là:

\[
x = 3, -7, -1
\]