Để chứng minh rằng trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \) với đường cao \( AH \) hạ từ \( A \) xuống cạnh \( BC \), ta có thể sử dụng định lý về đường cao trong tam giác vuông.

Ta sẽ sử dụng các ký hiệu sau:
- Gọi \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \).
- Gọi độ dài các đoạn như sau:
- \( BH = x \)
- \( HC = y \)
- \( AC = c \)
- \( AB = b \)
- \( BC = a \)

Ta có:
\[
BC = BH + HC \implies a = x + y
\]

Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2 \implies b^2 = AH^2 + x^2
\]
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2 \implies c^2 = AH^2 + y^2
\]

Bây giờ, từ hai phương trình trên, chúng ta có thể biểu diễn \( AH^2 \) từ mỗi phương trình:
1. Từ (1):
\[
AH^2 = b^2 - x^2
\]
2. Từ (2):
\[
AH^2 = c^2 - y^2
\]

Bây giờ, áp dụng định lý Pythagore trong tam giác lớn \( ABC \):
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2 \implies b^2 + c^2 = a^2
\]

Giờ, chúng ta thay \( a^2 \) vào biểu thức của \( x \) và \( y \):
\[
a^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
\]
Do đó, ta có:
\[
b^2 + c^2 = x^2 + 2xy + y^2
\]

Từ đây, ta thay \( b^2 \) và \( c^2 \) bằng các giá trị \( AH^2 + x^2 \) và \( AH^2 + y^2 \):
\[
(AH^2 + x^2) + (AH^2 + y^2) = x^2 + 2xy + y^2
\]
\[
2AH^2 + x^2 + y^2 = x^2 + 2xy + y^2
\]

Bình phương \( H \):
\[
2AH^2 = 2xy \implies AH^2 = xy \implies AH^2 = BH \cdot HC
\]

Vậy, điều cần chứng minh là \( AH^2 = BH \cdot HC \) đã được xác nhận.

**Kết luận**: Ta đã chứng minh rằng trong một tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), với đường cao \( AH \) hạ xuống cạnh \( BC \), có \( AH^2 = BH \cdot HC \).

VietJack
1 giờ trước
Để chứng minh rằng trong tam giác vuông ABCABC tại AA với đường cao AHAH hạ từ AA xuống cạnh BCBC, ta có thể sử dụng định lý về đường cao trong tam giác vuông.

Ta sẽ sử dụng các ký hiệu sau:
- Gọi HH là chân đường cao từ AA xuống cạnh BCBC.
- Gọi độ dài các đoạn như sau:
- BH=xBH=x
- HC=yHC=y
- AC=cAC=c
- AB=bAB=b
- BC=aBC=a

Ta có:
BC=BH+HC⟹a=x+yBC=BH+HC⟹a=x+y

Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có:
AB2=AH2+BH2⟹b2=AH2+x2AB2=AH2+BH2⟹b2=AH2+x2
AC2=AH2+HC2⟹c2=AH2+y2AC2=AH2+HC2⟹c2=AH2+y2

Bây giờ, từ hai phương trình trên, chúng ta có thể biểu diễn AH2AH2 từ mỗi phương trình:
1. Từ (1):
AH2=b2−x2AH2=b2−x2
2. Từ (2):
AH2=c2−y2AH2=c2−y2

Bây giờ, áp dụng định lý Pythagore trong tam giác lớn ABCABC:
AB2+AC2=BC2⟹b2+c2=a2AB2+AC2=BC2⟹b2+c2=a2

Giờ, chúng ta thay a2a2 vào biểu thức của xx và yy:
a2=(x+y)2=x2+2xy+y2a2=(x+y)2=x2+2xy+y2
Do đó, ta có:
b2+c2=x2+2xy+y2b2+c2=x2+2xy+y2

Từ đây, ta thay b2b2 và c2c2 bằng các giá trị AH2+x2AH2+x2 và AH2+y2AH2+y2:
(AH2+x2)+(AH2+y2)=x2+2xy+y2(AH2+x2)+(AH2+y2)=x2+2xy+y2
2AH2+x2+y2=x2+2xy+y22AH2+x2+y2=x2+2xy+y2

Bình phương HH:
2AH2=2xy⟹AH2=xy⟹AH2=BH⋅HC2AH2=2xy⟹AH2=xy⟹AH2=BH⋅HC

Vậy, điều cần chứng minh là AH2=BH⋅HCAH2=BH⋅HC đã được xác nhận.

**Kết luận**: Ta đã chứng minh rằng trong một tam giác vuông ABCABC tại AA, với đường cao AHAH hạ xuống cạnh BCBC, có AH2=BH⋅HCAH2=BH⋅HC.
...Xem thêm