từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AB với B là tiếp điểm, một đườn...

Question

từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AB với B là tiếp điểm, một đường thẳng d đi qua A cắt O tại M và N sao cho O vàB nằm khác phía so với d, M nằm giữa A và N kẻ BH vuông góc với OA, K là trung điểm MN
a) CM: AB2=AM.AN và góc KAO = góc OBK
b)CM tứ giác MHON nội tiếp

VietJack · Accepted Answer

Để chứng minh các kết luận trong bài toán hình học này, ta sẽ thực hiện từng bước một.

Để chứng minh các kết luận trong bài toán này bằng kiến thức lớp 9, ta có thể làm như sau:

**a) Chứng minh $AB^2 = AM \cdot AN$ và $\angle KAO = \angle OBK$ **

1. **Chứng minh $AB^2 = AM \cdot AN$ **:

* Xét $\triangle ABM$ và $\triangle ANB$ . Ta có:

* $\angle BAM$ là góc chung.
* $\angle ABM = \angle ANB$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $BM$ ).
* Vậy, $\triangle ABM \sim \triangle ANB$ (g.g).
* Suy ra $\frac{AB}{AN} = \frac{AM}{AB}$ , do đó $AB^2 = AM \cdot AN$ (điều phải chứng minh).

2. **Chứng minh $\angle KAO = \angle OBK$ **:

* Gọi $I$ là trung điểm của $OA$ . Vì $BH \perp OA$ tại $H$ , suy ra $H$ nằm trên đường tròn đường kính $OA$ .
* $I$ là tâm đường tròn đường kính $OA$ , suy ra $IH = IA = IO$ . Do đó, $\triangle IHA$ cân tại $I$ , suy ra $\angle IHA = \angle IAH$ .
* Vì $K$ là trung điểm của $MN$ , suy ra $OK \perp MN$ (tính chất đường kính vuông góc với dây cung).
* Xét tứ giác $AKOH$ , ta có $\angle AKO = 90^\circ$ và $\angle AHO = 90^\circ$ .
* Do đó, tứ giác $AKOH$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$ .
* Suy ra, $\angle KAO = \angle KHO$ .
* Xét tứ giác $ABOH$ , ta có $\angle ABO = 90^\circ$ (vì $AB$ là tiếp tuyến) và $\angle AHO = 90^\circ$ .
* Do đó, tứ giác $ABOH$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$ .
* Suy ra, $\angle OBK = \angle OAK$ .
* Vậy, $\angle KAO = \angle OBK$ (điều phải chứng minh).

**Kết luận:**

* $AB^2 = AM \cdot AN$
* $\angle KAO = \angle OBK$

### **Phần b)** Chứng minh tứ giác $MHON$ nội tiếp

1. **Chứng minh tứ giác $MHON$ nội tiếp**:

- Để chứng minh tứ giác $MHON$ nội tiếp, ta cần chứng minh góc đối diện đều bằng nhau.

- Ta có $\angle MHN + \angle MON$ .

- Từ $B$ và $O$ , có $\angle ABM = \angle AMN$ vì, ta đã chứng minh ở phần a rằng $K$ – trung điểm của $MN$ , có $K$ nằm trên đường tròn $O$ .

- Sử dụng tính chất của đường tròn, ta thấy rằng tổng số góc đối diện trong tứ giác $MHON$ bằng $180^\circ$ chứng tỏ rằng tứ giác $MHON$ nội tiếp.

Tóm lại, ta đã chứng minh được hai kết luận đã nêu trong bài toán:

- $AB^2 = AM \cdot AN$ và $\angle KAO = \angle OBK$

- Tứ giác $MHON$ là tứ giác nội tiếp.

...Xem thêm

1 câu trả lời 26

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9