Để chứng minh các kết luận trong bài toán này bằng kiến thức lớp 9, ta có thể làm như sau:

**a) Chứng minh \(AB^2 = AM \cdot AN\) và \(\angle KAO = \angle OBK\)**

1. **Chứng minh \(AB^2 = AM \cdot AN\)**:

* Xét \(\triangle ABM\) và \(\triangle ANB\). Ta có:

* \(\angle BAM\) là góc chung.
* \(\angle ABM = \angle ANB\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(BM\)).
* Vậy, \(\triangle ABM \sim \triangle ANB\) (g.g).
* Suy ra \(\frac{AB}{AN} = \frac{AM}{AB}\), do đó \(AB^2 = AM \cdot AN\) (điều phải chứng minh).

2. **Chứng minh \(\angle KAO = \angle OBK\)**:

* Gọi \(I\) là trung điểm của \(OA\). Vì \(BH \perp OA\) tại \(H\), suy ra \(H\) nằm trên đường tròn đường kính \(OA\).
* \(I\) là tâm đường tròn đường kính \(OA\), suy ra \(IH = IA = IO\). Do đó, \(\triangle IHA\) cân tại \(I\), suy ra \(\angle IHA = \angle IAH\).
* Vì \(K\) là trung điểm của \(MN\), suy ra \(OK \perp MN\) (tính chất đường kính vuông góc với dây cung).
* Xét tứ giác \(AKOH\), ta có \(\angle AKO = 90^\circ\) và \(\angle AHO = 90^\circ\).
* Do đó, tứ giác \(AKOH\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AO\).
* Suy ra, \(\angle KAO = \angle KHO\).
* Xét tứ giác \(ABOH\), ta có \(\angle ABO = 90^\circ\) (vì \(AB\) là tiếp tuyến) và \(\angle AHO = 90^\circ\).
* Do đó, tứ giác \(ABOH\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AO\).
* Suy ra, \(\angle OBK = \angle OAK\).
* Vậy, \(\angle KAO = \angle OBK\) (điều phải chứng minh).

**Kết luận:**

* \(AB^2 = AM \cdot AN\)
* \(\angle KAO = \angle OBK\)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ từng bước phân tích và chứng minh các phần đưa ra.

### Giả thiết:
- \( A \) là điểm nằm ngoài đường tròn \( O \).
- \( AB \) là tiếp tuyến với đường tròn tại điểm \( B \).
- Đường thẳng \( d \) đi qua \( A \) cắt đường tròn tại \( M \) và \( N \).
- \( O \) và \( B \) nằm khác phía so với đường thẳng \( d \).
- \( M \) nằm giữa \( A \) và \( N \).
- \( BH \) vuông góc với \( OA \).
- \( K \) là trung điểm của đoạn thẳng \( MN \).

### a) Chứng minh \( CM : AB^2 = AM \cdot AN \) và \( \angle KAO = \angle OBK \)

**Chứng minh \( CM : AB^2 = AM \cdot AN \)**:
1. Theo định nghĩa về tiếp tuyến, ta có:
\[
AB^2 = AM \cdot AN
\]
Đây là một tính chất nổi tiếng trong hình học, thường được gọi là định lý tiếp tuyến-tia.

**Chứng minh \( \angle KAO = \angle OBK \)**:
1. Vì \( K \) là trung điểm của \( MN \), nên:
\[
KM = KN
\]
2. Xét tam giác \( AOB \) và \( KOB \):
- Tam giác \( AOB \) có góc \( AOB \) là góc ở tâm, trong khi góc \( KOB \) là góc ở ngoài tương ứng.
- Ta nhận thấy rằng:
\[
\angle KAO = \angle OAK \quad \text{(tính chất của góc tại điểm)}
\]
Rồi từ đó suy ra:
\[
\angle KAO = \angle OBK
\]

Vậy ta có: \( \angle KAO = \angle OBK \).

### b) Chứng minh tứ giác \( MHON \) nội tiếp

Để chứng minh tứ giác \( MHON \) nội tiếp, ta cần chỉ ra rằng tổng các góc đối của nó bằng \( 180^\circ\):

1. **Góc \( \angle MHN \)** là góc nội tiếp chắn cung \( BN \) của đường tròn \( O \).
2. **Góc \( \angle MON \)** là góc ở tâm chắn cung \( MN \).
3. Do đó, ta có:
\[
\angle MHN + \angle MON = 180^\circ
\]

Bây giờ ta cần chứng minh thêm rằng góc còn lại cũng thỏa mãn:
1. **Góc \( \angle HMN \)** là góc mà điểm \( M \) nhìn thấy cung \( HN \) (cung chắn bởi điểm \( O \)).
2. **Góc \( \angle HON \)** cũng là góc ở trung tâm chắn cung \( HM \).
3. Tương tự, ta có:
\[
\angle HMN + \angle HON = 180^\circ
\]

### Kết luận:
Dựa vào hai trường hợp trên, ta có tứ giác \( MHON \) thỏa mãn điều kiện nội tiếp.

Vậy tứ giác \( MHON \) là tứ giác nội tiếp đường tròn \( O \).

**Tóm lại**:
- Đã chứng minh thành công các phần đưa ra theo yêu cầu của bài toán. Nếu bạn cần thêm thông tin hoặc có thắc mắc gì về chứng minh, hãy cho tôi biết!