Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng bước như sau:

Bước 1: Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng
Ba điểm A, B, C không thẳng hàng nếu và chỉ nếu véc tơ AB và véc tơ AC không đồng phương.
Tính véc tơ AB⃗AB và AC⃗AC:

AB⃗=B−A=(4−1,1−(−2),2−1)=(3,3,1)AB=B−A=(4−1,1−(−2),2−1)=(3,3,1)
AC⃗=C−A=(2−1,3−(−2),1−1)=(1,5,0)AC=C−A=(2−1,3−(−2),1−1)=(1,5,0)
Tính định thức của ma trận:

D=∣331150001∣D=∣∣​310​350​101​∣∣​
Tính định thức:

D=3(5⋅1−0⋅0)−3(1⋅1−0⋅0)+1(1⋅0−5⋅0)=15−3+0=12D=3(5⋅1−0⋅0)−3(1⋅1−0⋅0)+1(1⋅0−5⋅0)=15−3+0=12
Vì D≠0D=0, suy ra ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (A, B, C)
Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C có dạng:

ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0
Sử dụng véc tơ AB và AC để tìm véc tơ pháp tuyến n⃗n:

n⃗=AB⃗×AC⃗=∣i^j^k^331150∣n=AB×AC=∣∣​i^31​j^​35​k^10​∣∣​
Tính tích có hướng:

n⃗=i^(3⋅0−1⋅5)−j^(3⋅0−1⋅1)+k^(3⋅5−3⋅1)n=i^(3⋅0−1⋅5)−j^​(3⋅0−1⋅1)+k^(3⋅5−3⋅1)
=i^(−5)−j^(−1)+k^(15−3)=(−5,1,12)=i^(−5)−j^​(−1)+k^(15−3)=(−5,1,12)
Sử dụng điểm A(1, -2, 1) để tìm d:

−5(1)+1(−2)+12(1)+d=0→−5−2+12+d=0→d=−5−5(1)+1(−2)+12(1)+d=0→−5−2+12+d=0→d=−5
Phương trình mặt phẳng (A, B, C):

−5x+y+12z−5=0hay5x−y−12z+5=0−5x+y+12z−5=0hay5x−y−12z+5=0
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
Tìm trung điểm M của đoạn AB:

M=(1+42,−2+12,1+22)=(52,−12,32)M=(21+4​,2−2+1​,21+2​)=(25​,−21​,23​)
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực là véc tơ AB:

n⃗=(3,3,1)n=(3,3,1)
Phương trình mặt phẳng trung trực là:

3(x−52)+3(y+12)+1(z−32)=03(x−25​)+3(y+21​)+1(z−23​)=0
Đưa về dạng chuẩn:

3x+3y+z−152−32−32=0→3x+3y+z−9=03x+3y+z−215​−23​−23​=0→3x+3y+z−9=0
Kết luận:
Ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Phương trình mặt phẳng (A, B, C): 5x−y−12z+5=05x−y−12z+5=0
Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB: 3x+3y+z−9=03x+3y+z−9=0

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng bước như sau:

Bước 1: Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng
Ba điểm A, B, C không thẳng hàng nếu và chỉ nếu véc tơ AB và véc tơ AC không đồng phương.
Tính véc tơ AB⃗AB và AC⃗AC:

AB⃗=B−A=(4−1,1−(−2),2−1)=(3,3,1)
AC⃗=C−A=(2−1,3−(−2),1−1)=(1,5,0)
Tính định thức của ma trận:

D=∣331150001∣
Tính định thức:

D=3(5⋅1−0⋅0)−3(1⋅1−0⋅0)+1(1⋅0−5⋅0)=15−3+0=12
Vì D≠0D=0, suy ra ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (A, B, C)
Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C có dạng:

ax+by+cz+d=0
Sử dụng véc tơ AB và AC để tìm véc tơ pháp tuyến n⃗n:

n⃗=AB⃗×AC⃗=∣i^j^k^331150∣
Tính tích có hướng:

n⃗=i^(3⋅0−1⋅5)−j^(3⋅0−1⋅1)+k^(3⋅5−3⋅1)n=i^(3⋅0−1⋅5)−j^​(3⋅0−1⋅1)+k^(3⋅5−3⋅1)
=i^(−5)−j^(−1)+k^(15−3)=(−5,1,12)=i^(−5)−j^​(−1)+k^(15−3)=(−5,1,12)
Sử dụng điểm A(1, -2, 1) để tìm d:

−5(1)+1(−2)+12(1)+d=0→−5−2+12+d=0→d=−5−5(1)+1(−2)+12(1)+d=0→−5−2+12+d=0→d=−5
Phương trình mặt phẳng (A, B, C):

−5x+y+12z−5=0hay5x−y−12z+5=0−5x+y+12z−5=0hay5x−y−12z+5=0
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
Tìm trung điểm M của đoạn AB:

M=(1+42,−2+12,1+22)=(52,−12,32)M=(21+4​,2−2+1​,21+2​)=(25​,−21​,23​)
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực là véc tơ AB:

n⃗=(3,3,1)n=(3,3,1)
Phương trình mặt phẳng trung trực là:

3(x−52)+3(y+12)+1(z−32)=03(x−25​)+3(y+21​)+1(z−23​)=0
Đưa về dạng chuẩn:

3x+3y+z−152−32−32=0→3x+3y+z−9=03x+3y+z−215​−23​−23​=0→3x+3y+z−9=0
Kết luận:
Ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Phương trình mặt phẳng (A, B, C): 5x−y−12z+5=05x−y−12z+5=0
Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB: 3x+3y+z−9=03x+3y+z−9=0