Để tìm khoảng cách từ điểm O (giao điểm của các đường chéo AC và BD trong hình chữ nhật ABCD) tới mặt phẳng (B'D'C), chúng ta cần thực hiện các bước như sau:

Xác định tọa độ các điểm:

Chọn hệ tọa độ sao cho:A(0,0,0)A(0, 0, 0)A(0,0,0)
B(6,0,0)B(6, 0, 0)B(6,0,0)
C(6,4,0)C(6, 4, 0)C(6,4,0)
D(0,4,0)D(0, 4, 0)D(0,4,0)
A′(0,0,3)A'(0, 0, 3)A′(0,0,3)
B′(6,0,3)B'(6, 0, 3)B′(6,0,3)
C′(6,4,3)C'(6, 4, 3)C′(6,4,3)
D′(0,4,3)D'(0, 4, 3)D′(0,4,3)
Tìm O (giao điểm của AC và BD):

Phương trình đường chéo AC:

Điểm A (0,0,0)(0,0,0)(0,0,0) đến C (6,4,0)(6,4,0)(6,4,0)
Phương trình đường thẳng AC có thể viết dưới dạng tham số:
A(t)=(0+6t,0+4t,0)A(t) = (0 + 6t, 0 + 4t, 0)A(t)=(0+6t,0+4t,0)
Khi t=0t = 0t=0, A(0)=AA(0) = AA(0)=A, khi t=1t = 1t=1, A(1)=CA(1) = CA(1)=C.
Phương trình đường chéo BD:

Điểm B (6,0,0)(6,0,0)(6,0,0) đến D (0,4,0)(0,4,0)(0,4,0)
Phương trình đường thẳng BD:
B(t)=(6−6t,0+4t,0)B(t) = (6 - 6t, 0 + 4t, 0)B(t)=(6−6t,0+4t,0)
Khi t=0t = 0t=0, B(0)=BB(0) = BB(0)=B, khi t=1t = 1t=1, B(1)=DB(1) = DB(1)=D.
Tìm O bằng cách giải hệ phương trình:

Đặt t1t_1t1​ cho AC và t2t_2t2​ cho BD, ta có:

(6t1,4t1,0)=(6−6t2,4t2,0)(6t_1, 4t_1, 0) = (6 - 6t_2, 4t_2, 0)(6t1​,4t1​,0)=(6−6t2​,4t2​,0)
Giải hệ phương trình:

Từ phương trình thứ nhất:
6t1=6−6t2  ⟹  t1+t2=16t_1 = 6 - 6t_2 \implies t_1 + t_2 = 16t1​=6−6t2​⟹t1​+t2​=1
Từ phương trình thứ hai:
4t1=4t2  ⟹  t1=t24t_1 = 4t_2 \implies t_1 = t_24t1​=4t2​⟹t1​=t2​
Thay t1=t2t_1 = t_2t1​=t2​ vào t1+t2=1t_1 + t_2 = 1t1​+t2​=1:

2t1=12t_1 = 12t1​=1 dẫn đến t1=t2=12t_1 = t_2 = \frac{1}{2}t1​=t2​=21​.
Tính tọa độ O:

Thay t1t_1t1​ vào phương trình của AC để tìm tọa độ O:
O=(6⋅12,4⋅12,0)=(3,2,0)O = \left(6 \cdot \frac{1}{2}, 4 \cdot \frac{1}{2}, 0\right) = (3, 2, 0)O=(6⋅21​,4⋅21​,0)=(3,2,0)
Tìm phương trình mặt phẳng B'D'C:

Sử dụng ba điểm B', D', C':

B′(6,0,3)B'(6,0,3)B′(6,0,3)
D′(0,4,3)D'(0,4,3)D′(0,4,3)
C′(6,4,3)C'(6,4,3)C′(6,4,3)
Vector B′D′⃗=(0−6,4−0,3−3)=(−6,4,0)\vec{B'D'} = (0 - 6, 4 - 0, 3 - 3) = (-6, 4, 0)B′D′=(0−6,4−0,3−3)=(−6,4,0)
Vector B′C′⃗=(6−6,4−0,3−3)=(0,4,0)\vec{B'C'} = (6 - 6, 4 - 0, 3 - 3) = (0, 4, 0)B′C′=(6−6,4−0,3−3)=(0,4,0)
Sử dụng tích có hướng để tìm vectơ pháp tuyến n⃗\vec{n}n:
n⃗=B′D′⃗×B′C′⃗=∣i^j^k^−640040∣=(0,0,−24)  ⟹  Phương trıˋnh mặt phẳng: z=3\vec{n} = \vec{B'D'} \times \vec{B'C'} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -6 & 4 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, -24) \implies \text{Phương trình mặt phẳng: } z = 3n=B′D′×B′C′=​i^−60​j^​44​k^00​​=(0,0,−24)⟹Phương trıˋnh mặt phẳng: z=3
Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm O(3, 2, 0) tới mặt phẳng z=3z = 3z=3:
Khoảng caˊch=∣zO−z0∣=∣0−3∣=3\text{Khoảng cách} = |z_O - z_{0}| = |0 - 3| = 3Khoảng caˊch=∣zO​−z0​∣=∣0−3∣=3
Kết quả:
Khoảng cách từ O tới mặt phẳng B'D'C là 3 đơn vị.