Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Radar có tầm hoạt động \( R \) nên nó quét trong đường tròn tâm \( A(1,3) \) bán kính \( R \). Do \( M \) và \( N \) nằm trên đường tròn này, ta có phương trình đường tròn:
\[
(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = R^2
\]

Khoảng cách từ điểm \( A(1,3) \) đến đường thẳng \( d: 3x + 4y + 75 = 0 \) được tính theo công thức:
\[
d = \frac{|3(1) + 4(3) + 75|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}
\]

\[
d = \frac{|3 + 12 + 75|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{90}{5} = 18
\]

Vì \( \triangle AMN \) cân tại \( A \) và \( \angle MAN = 120^\circ \), hai điểm \( M \) và \( N \) là hai tiếp điểm của đường tròn với đường thẳng \( d \). Khi đó, khoảng cách từ \( A \) đến đường \( d \) chính là đường cao của tam giác cân, và bán kính \( R \) thỏa mãn:
\[
d = R \cos 60^\circ
\]

\[
18 = R \times \frac{1}{2}
\]

\[
R = 36
\]

Vậy, bán kính hoạt động của radar là \( \mathbf{36} \) đơn vị.

Answer 2

\[(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = R^2\]

Từ \( 3x + 4y + 75 = 0 \):

\[4y = -3x - 75 \implies y = -\frac{3}{4}x - \frac{75}{4}\]

\[(x - 1)^2 + \left(-\frac{3}{4}x - \frac{75}{4} - 3\right)^2 = R^2\]

\[\left(-\frac{3}{4}x - \frac{75}{4} - 3\right) = -\frac{3}{4}x - \frac{75}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{3}{4}x - \frac{87}{4}\]

\[\left(-\frac{3}{4}x - \frac{87}{4}\right)^2 = \left(\frac{3}{4}x + \frac{87}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}x^2 + \frac{261}{8}x + \frac{7569}{16}\]

\[(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1\]

\[x^2 - 2x + 1 + \frac{9}{16}x^2 + \frac{261}{8}x + \frac{7569}{16} = R^2\]

\[\frac{16}{16}x^2 + \frac{9}{16}x^2 - \frac{32}{16}x + \frac{261}{8}x + \frac{16}{16} + \frac{7569}{16} = R^2\]

\[\frac{25}{16}x^2 + \left(-\frac{32}{16} + \frac{522}{16}\right)x + \frac{7585}{16} = R^2\]

\[\frac{25}{16}x^2 + \frac{490}{16}x + \frac{7585}{16} = R^2\]

\[\frac{25}{16}x^2 + \frac{245}{8}x + \frac{7585}{16} = R^2\]

Gọi \( M(x_1, y_1) \), \( N(x_2, y_2) \):

\[\overrightarrow{AM} = (x_1 - 1, y_1 - 3), \quad \overrightarrow{AN} = (x_2 - 1, y_2 - 3)\]

\[\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN} = (x_1 - 1)(x_2 - 1) + (y_1 - 3)(y_2 - 3) = -\frac{R^2}{2}\]

Vì \( |AM| = |AN| = R \):

\[(x_1 - 1)^2 + (y_1 - 3)^2 = R^2, \quad (x_2 - 1)^2 + (y_2 - 3)^2 = R^2\]

\[d = \frac{|3(1) + 4(3) + 75|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|90|}{5} = 18\]

Giải \( \frac{25}{16}x^2 + \frac{245}{8}x + \frac{7585}{16} = R^2 \) với \( x_1, x_2 \):

\[\frac{25}{16}x^2 + \frac{245}{8}x + \frac{7585}{16} - R^2 = 0\]

Phân biệt \( x_1, x_2 \) và tìm \( y_1, y_2 \) từ \( 3x + 4y + 75 = 0 \).

\[MN = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = R\sqrt{3}\]

Kết hợp với \( \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN} = -\frac{R^2}{2} \).

...Xem thêm

Answer 3