Cho a,b>0 và a+b=4,tìm giá trị lớn nhất của p=(1-1/a)(1-1/b)

Nmaprodie.011@gmail.com Hỏi từ APP VIETJACK

đã hỏi trong Lớp 8 Toán học

· 22:53 27/02/2025

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

9 tháng trước

Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\[
P = \left( 1 - \frac{1}{a} \right) \left( 1 - \frac{1}{b} \right)
\]

với điều kiện \( a, b > 0 \) và \( a + b = 4 \).

Khai triển biểu thức:

\[
P = \left( 1 - \frac{1}{a} \right) \left( 1 - \frac{1}{b} \right) = 1 - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} + \frac{1}{ab}
\]

Sử dụng điều kiện \( a + b = 4 \), ta có:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab} = \frac{4}{ab}
\]

Do đó, biểu thức trở thành:

\[
P = 1 - \frac{4}{ab} + \frac{1}{ab} = 1 - \frac{3}{ab}
\]

Ta cần cực đại hóa \( P = 1 - \frac{3}{ab} \), tức là cực tiểu hóa \( \frac{3}{ab} \).

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

\[
ab \leq \left( \frac{a+b}{2} \right)^2 = \left( \frac{4}{2} \right)^2 = 4
\]

Dấu bằng xảy ra khi \( a = b = 2 \), khi đó:

\[
ab = 2 \times 2 = 4
\]

Thay vào biểu thức \( P \):

\[
P = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}
\]

Giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \frac{1}{4} \), đạt được khi \( a = b = 2 \).

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

9 tháng trước

Ta có biểu thức:

Sử dụng điều kiện , thay b = 4 - a vào biểu thức P:

Để tìm giá trị lớn nhất của P, ta xét hàm số:

Tính đạo hàm P'(a) và giải phương trình P'(a) = 0 để tìm các điểm cực trị.

Sau khi tính toán, ta tìm được giá trị lớn nhất của P đạt được khi a = b = 2, tức là khi a = b = 2 thì P đạt giá trị lớn nhất.

Thay a = b = 2 vào P:

Vậy giá trị lớn nhất của P là .

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn muốn hỏi bài tập?