Câu a: Chứng minh \( AB \perp (SAD) \)

Để chứng minh \( AB \perp (SAD) \), ta chứng minh \( AB \) vuông góc với hai đường không song song nằm trong mặt phẳng \( (SAD) \).

- Ta có \( SA \perp (ABCD) \), nên suy ra \( SA \perp AB \).
- Mặt khác, \( AD \) là cạnh của hình vuông \( ABCD \), nên \( AB \perp AD \).

Vì \( SA \) và \( AD \) đều thuộc mặt phẳng \( (SAD) \) và \( AB \) vuông góc với cả hai đường này, nên suy ra \( AB \perp (SAD) \).

\( AB \perp (SAD) \).

Câu b: Chứng minh \( \triangle SCD \) vuông tại \( D \)

Ta chứng minh \( \triangle SCD \) vuông tại \( D \), tức là chứng minh \( SD \perp CD \).

- Ta có \( SA \perp (ABCD) \) nên \( SA \perp CD \).
- Do \( SA \perp (ABCD) \), suy ra \( SD \) là đường xiên hạ từ \( S \) xuống mặt phẳng đáy, mà \( D \) là chân đường vuông góc này.
- Vì \( ABCD \) là hình vuông nên \( CD \perp AD \).
- Ta đã chứng minh \( AB \perp (SAD) \), tức là \( AD \perp SD \).

Vậy \( SD \) vuông góc với cả \( AD \) và \( CD \), nên \( SD \perp (ACD) \) và đặc biệt \( SD \perp CD \).

 \( \triangle SCD \) vuông tại \( D \).

Câu c: Tính góc giữa \( SD \) và \( BC \)

Góc giữa \( SD \) và \( BC \) chính là góc \( \theta = \angle SDB \).

Bước 1: Xác định tọa độ các điểm
Giả sử hình vuông \( ABCD \) có tâm tại gốc tọa độ \( O \), ta đặt:
- \( A(0,0,0) \), \( B(a,0,0) \), \( C(a,a,0) \), \( D(0,a,0) \),
- \( S(0,0,a\sqrt{2}) \).

Bước 2: Tính các véc-tơ
Ta có:
\[
\overrightarrow{SD} = (0, a, a\sqrt{2})
\]
\[
\overrightarrow{BC} = (0, a, 0)
\]

Tính góc giữa \( SD \) và \( BC \)

Góc giữa hai véc-tơ \( \overrightarrow{SD} \) và \( \overrightarrow{BC} \) được xác định bởi công thức:

\[
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{SD} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{SD}| |\overrightarrow{BC}|}
\]

Tích vô hướng:
\[
\overrightarrow{SD} \cdot \overrightarrow{BC} = (0 \cdot 0) + (a \cdot a) + (a\sqrt{2} \cdot 0) = a^2
\]

Độ dài các véc-tơ:
\[
|\overrightarrow{SD}| = \sqrt{0^2 + a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}
\]

\[
|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{0^2 + a^2 + 0^2} = a
\]

Do đó:
\[
\cos \theta = \frac{a^2}{a\sqrt{3} \cdot a} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
\]

Suy ra:

\[
\theta = \arccos \frac{\sqrt{3}}{3}
\]

 Góc giữa \( SD \) và \( BC \) là \( \arccos \frac{\sqrt{3}}{3} \).

a) Chứng minh AB vuông góc với mặt phẳng (SAD): Vì SA vuông góc với (ABCD) và AB là cạnh của hình vuông ABCD, nên SA vuông góc với cả AB và AD. Do đó, AB vuông góc với mặt phẳng (SAD).

b) Chứng minh tam giác SCD vuông tại D: Vì SA vuông góc với (ABCD), nên SA vuông góc với CD. Ta có: SA = a√2 và đáy ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = a√2. Trong tam giác SAC, sử dụng định lý Pythagore ta có: SC² = SA² + AC² = (a√2)² + (a√2)² = 2a² + 2a² = 4a² => SC = 2a Vậy tam giác SCD vuông tại D.

c) Tính góc giữa SD và BC: Trong tam giác SCD, ta có: SD = a√2 CD = a SC = 2a

Góc giữa SD và BC là góc giữa hai đường thẳng trong không gian. Ta cần tính cosin của góc này. Trong tam giác SCD, cosin của góc giữa SD và SC là: cos(DSC) = $\frac{SD}{SC}$ = $\frac{a\text{√}2}{2a}$ = $\frac{\text{√}2}{2}$

Góc giữa SD và BC là góc phụ của góc DSC, do đó: Góc giữa SD và BC = 90° - DSC = 90° - $\arccos (\frac{\text{√}2}{2})$

Do đó, góc giữa SD và BC là 45°.