Gọi \( G \) là trọng tâm tam giác \( ABC \), khi đó \( G \) có tọa độ là trung bình cộng tọa độ các đỉnh:

\[
G \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right) = (3,2)
\]

Bước 1: Xác định tọa độ điểm \( A \)
Phương trình hai đường thẳng \( AB: x - y - 2 = 0 \) và \( AC: x + 2y - 5 = 0 \) giao nhau tại điểm \( A \).

Giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x - y - 2 = 0 \\
x + 2y - 5 = 0
\end{cases}
\]

Từ phương trình thứ nhất: \( x = y + 2 \), thay vào phương trình thứ hai:

\[
(y+2) + 2y - 5 = 0
\]

\[
3y - 3 = 0 \Rightarrow y = 1, \quad x = 3
\]

Vậy tọa độ \( A(3,1) \).

Bước 2: Gọi tọa độ \( B(x_B, y_B) \) và \( C(x_C, y_C) \)
Trọng tâm \( G(3,2) \) thỏa mãn:

\[
\frac{3 + x_B + x_C}{3} = 3, \quad \frac{1 + y_B + y_C}{3} = 2
\]

Suy ra:

\[
3 + x_B + x_C = 9 \Rightarrow x_B + x_C = 6
\]

\[
1 + y_B + y_C = 6 \Rightarrow y_B + y_C = 5
\]

Bước 3: Tìm tọa độ \( B, C \)
- Điểm \( B(x_B, y_B) \) nằm trên \( AB: x - y - 2 = 0 \Rightarrow x_B = y_B + 2 \).
- Điểm \( C(x_C, y_C) \) nằm trên \( AC: x + 2y - 5 = 0 \Rightarrow x_C = 5 - 2y_C \).

Thay vào hệ:

\[
(y_B + 2) + (5 - 2y_C) = 6
\]

\[
y_B + 2y_C = 3
\]

\[
y_B + y_C = 5
\]

Trừ hai phương trình:

\[
y_C - 2y_C = 5 - 3 \Rightarrow -y_C = 2 \Rightarrow y_C = -2, \quad y_B = 7
\]

Tìm \( x_B, x_C \):

\[
x_B = y_B + 2 = 7 + 2 = 9, \quad x_C = 5 - 2(-2) = 9
\]

Vậy \( B(9,7) \), \( C(9,-2) \).

Bước 4: Tìm phương trình đường thẳng \( BC \)
Điểm \( B(9,7) \) và \( C(9,-2) \) có cùng hoành độ \( x = 9 \), nên phương trình đường thẳng \( BC \) là:

\[
x - 9 = 0
\]

So với dạng \( x + my + n = 0 \), ta có:

\[
1 \cdot x + 0 \cdot y - 9 = 0
\]

Suy ra \( m = 0 \), \( n = -9 \), nên \( m + n = 0 - 9 = -9 \).

\[
\boxed{-9}
\]