Để giải bài toán, chúng ta cần hình dung mảnh vườn tam giác vuông cân ABCABCABC với AB=BC=100AB = BC = 100AB=BC=100. Khi đó, diện tích của tam giác ABCABCABC là:

SABC=12×AB×BC=12×100×100=5000 m2.S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 100 \times 100 = 5000 \text{ m}^2.SABC​=21​×AB×BC=21​×100×100=5000 m2.

Giả sử bể bơi hình chữ nhật MNPQMNPQMNPQ được đặt trong mảnh vườn, mà bốn điểm của bể bơi chạm vào các cạnh của tam giác.

Diện tích bể bơi
Gọi BN=xBN = xBN=x (đoạn từ BBB đến NNN), và vì nó là hình chữ nhật nên có các cạnh khác như sau:

MMM nằm trên ABABAB.
QQQ nằm trên ACACAC.
Do bể bơi nằm trong tam giác vuông cân, tọa độ của các điểm:

A(0,100)A(0, 100)A(0,100)
B(0,0)B(0, 0)B(0,0)
C(100,0)C(100, 0)C(100,0)
N(0,x)N(0, x)N(0,x) với 0≤x≤1000 \leq x \leq 1000≤x≤100.
Đường chéo
Diện tích của bể bơi hình chữ nhật là Sbểbơi=MN×MQS_{bể bơi} = MN \times MQSbểbơi​=MN×MQ. Để tìm chiều dài cạnh MQMQMQ, cần xác định tọa độ của điểm QQQ nằm trên ACACAC.
Phương trình đường thẳng ACACAC có dạng:

y=100−xy = 100 - xy=100−x

Từ đó, chúng ta có thể xác định kích thước bể bơi như sau:

Chiều dài MN=AQ=100−xMN = AQ = 100 - xMN=AQ=100−x.
Chiều rộng BN=xBN = xBN=x.
Diện tích của bể bơi
Vì Sbểbơi≥1600S_{bể bơi} \geq 1600Sbểbơi​≥1600:

Sbểbơi=MN×BN=(100−x)×x≥1600.S_{bể bơi} = MN \times BN = (100 - x) \times x \geq 1600.Sbểbơi​=MN×BN=(100−x)×x≥1600.

Phương trình này trở thành:

100x−x2≥1600.100x - x^2 \geq 1600.100x−x2≥1600.

Giải phương trình bất phương trình
Chuyển tất cả về một bên:

−x2+100x−1600≥0.-x^2 + 100x - 1600 \geq 0.−x2+100x−1600≥0.

Dễ dàng nhận thấy rằng phương trình này có thể viết lại thành:

x2−100x+1600≤0.x^2 - 100x + 1600 \leq 0.x2−100x+1600≤0.

Phương trình bậc 2 x2−100x+1600=0x^2 - 100x + 1600 = 0x2−100x+1600=0 có thể giải bằng công thức nghiệm:

x=−b±b2−4ac2a=100±10000−64002=100±36002=100±602.x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 6400}}{2} = \frac{100 \pm \sqrt{3600}}{2} = \frac{100 \pm 60}{2}.x=2a−b±b2−4ac​​=2100±10000−6400​​=2100±3600​​=2100±60​.

Từ đó, chúng ta có hai nghiệm:

x1=1602=80,x2=402=20.x_1 = \frac{160}{2} = 80, \quad x_2 = \frac{40}{2} = 20.x1​=2160​=80,x2​=240​=20.

Đoạn BN
Bất phương trình có nghiệm:

20≤x≤80.20 \leq x \leq 80.20≤x≤80.

Kết luận
Do đó, độ dài tối thiểu và tối đa của đoạn BNBNBN như sau:

Độ dài tối thiểu: 202020
Độ dài tối đa: 808080
Vậy đoạn BNBNBN có độ dài tối thiểu là 202020 m và tối đa là 808080 m.
 

Để giải bài toán, chúng ta cần hình dung mảnh vườn tam giác vuông cân ABCABCABC với AB=BC=100AB = BC = 100AB=BC=100. Khi đó, diện tích của tam giác ABCABCABC là:

SABC=12×AB×BC=12×100×100=5000 m2.S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 100 \times 100 = 5000 \text{ m}^2.SABC​=21​×AB×BC=21​×100×100=5000 m2.

Giả sử bể bơi hình chữ nhật MNPQMNPQMNPQ được đặt trong mảnh vườn, mà bốn điểm của bể bơi chạm vào các cạnh của tam giác.

Diện tích bể bơi
Gọi BN=xBN = xBN=x (đoạn từ BBB đến NNN), và vì nó là hình chữ nhật nên có các cạnh khác như sau:

MMM nằm trên ABABAB.
QQQ nằm trên ACACAC.
Do bể bơi nằm trong tam giác vuông cân, tọa độ của các điểm:

A(0,100)A(0, 100)A(0,100)
B(0,0)B(0, 0)B(0,0)
C(100,0)C(100, 0)C(100,0)
N(0,x)N(0, x)N(0,x) với 0≤x≤1000 \leq x \leq 1000≤x≤100.
Đường chéo
Diện tích của bể bơi hình chữ nhật là Sbểbơi=MN×MQS_{bể bơi} = MN \times MQSbểbơi​=MN×MQ. Để tìm chiều dài cạnh MQMQMQ, cần xác định tọa độ của điểm QQQ nằm trên ACACAC.
Phương trình đường thẳng ACACAC có dạng:

y=100−xy = 100 - xy=100−x

Từ đó, chúng ta có thể xác định kích thước bể bơi như sau:

Chiều dài MN=AQ=100−xMN = AQ = 100 - xMN=AQ=100−x.
Chiều rộng BN=xBN = xBN=x.
Diện tích của bể bơi
Vì Sbểbơi≥1600S_{bể bơi} \geq 1600Sbểbơi​≥1600:

Sbểbơi=MN×BN=(100−x)×x≥1600.S_{bể bơi} = MN \times BN = (100 - x) \times x \geq 1600.Sbểbơi​=MN×BN=(100−x)×x≥1600.

Phương trình này trở thành:

100x−x2≥1600.100x - x^2 \geq 1600.100x−x2≥1600.

Giải phương trình bất phương trình
Chuyển tất cả về một bên:

−x2+100x−1600≥0.-x^2 + 100x - 1600 \geq 0.−x2+100x−1600≥0.

Dễ dàng nhận thấy rằng phương trình này có thể viết lại thành:

x2−100x+1600≤0.x^2 - 100x + 1600 \leq 0.x2−100x+1600≤0.

Phương trình bậc 2 x2−100x+1600=0x^2 - 100x + 1600 = 0x2−100x+1600=0 có thể giải bằng công thức nghiệm:

x=−b±b2−4ac2a=100±10000−64002=100±36002=100±602.x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 6400}}{2} = \frac{100 \pm \sqrt{3600}}{2} = \frac{100 \pm 60}{2}.x=2a−b±b2−4ac​​=2100±10000−6400​​=2100±3600​​=2100±60​.

Từ đó, chúng ta có hai nghiệm:

x1=1602=80,x2=402=20.x_1 = \frac{160}{2} = 80, \quad x_2 = \frac{40}{2} = 20.x1​=2160​=80,x2​=240​=20.

Đoạn BN
Bất phương trình có nghiệm:

20≤x≤80.20 \leq x \leq 80.20≤x≤80.

Kết luận
Do đó, độ dài tối thiểu và tối đa của đoạn BNBNBN như sau:

Độ dài tối thiểu: 202020
Độ dài tối đa: 808080
Vậy đoạn BNBNBN có độ dài tối thiểu là 202020 m và tối đa là 808080 m.