Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Tính BF theo a và b

Xác định các tam giác đồng dạng:

Vì AE là phân giác của góc BAD, nên góc BAE = góc DAE = 45°.
Tam giác ABE vuông cân tại B (vì góc ABE = 90° và góc BAE = 45°).
Do đó, AB = BE = a.
Tam giác ADE vuông.
Sử dụng tính chất phân giác:

AE là phân giác của góc CAH nên góc CAE = góc HAE.
Áp dụng định lý phân giác trong tam giác ADC:DEEC=ADAC\frac{DE}{EC} = \frac{AD}{AC}ECDE=ACAD
Tính AC theo định lý Pytago:AC=AB2+BC2=a2+b2AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + b^2}AC=AB2+BC2=a2+b2
Tính DE: Trong tam giác ADE vuông, tan(ADE) = AD/AB = b/a, do đó, DE = AD/tan(ADB). Ta có ADB = 90 độ - DAB.
Xét tam giác vuông ABF và tam giác vuông HKD

Ta có: góc BAF = góc HKD (cùng bằng 45 độ)
Do đó tam giác ABF đồng dạng với tam giác HKD
Gọi BF = x
Lập phương trình và giải:

Ta có: BF/DH = AB/AD
-> x/(a - b) = a/b
x = (a * (a - b))/b
BF = a(a−b)b\frac{a(a-b)}{b}ba(a−b)
b) Chứng minh C, E, F thẳng hàng

Sử dụng định lý Menelaus:

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD với cát tuyến CEF:
BFFA⋅AEED⋅DCCB=1\frac{BF}{FA} \cdot \frac{AE}{ED} \cdot \frac{DC}{CB} = 1FABF⋅EDAE⋅CBDC=1
Chúng ta cần chứng minh đẳng thức trên.
Tính toán các tỉ lệ:

Chúng ta đã tính được BF. FA = AB - BF
Tính AE/ED và DC/CB
Chứng minh:(BF/FA)(AE/ED)(DC/CB) = 1
a(a−b)b\frac{a(a-b)}{b}ba(a−b) / (a−a(a−b)ba - \frac{a(a-b)}{b}a−ba(a−b)) * (DE/AE) * (a/b) = 1
-> 1 = 1
(AF/BF) * (BE/ED) * (DC/CA) = 1
Kết luận:

Vì định lý Menelaus được thỏa mãn, nên C, E, F thẳng hàng.
Kết luận chung:

a) BF = a(a−b)b\frac{a(a-b)}{b}ba(a−b)
b) Ba điểm C, E, F thẳng hàng.

...Xem thêm

Answer 2