Đây là bài toán liên quan đến các đường cao và các điểm đặc biệt trong tam giác. Để chứng minh AE.BF.CD = AF.BD.CE = DE.EF.FD, ta sẽ sử dụng một số kiến thức về tam giác và định lý.

Bước 1: Chứng minh AE.BF.CD = AF.BD.CE

Sử dụng định lý Cosin: Trong tam giác ABC, ta có:

AE=AB⋅cosAAE = AB \cdot cos AAE=AB⋅cosA (vì AE là hình chiếu của AB trên AC)
BF=BC⋅cosBBF = BC \cdot cos BBF=BC⋅cosB
CD=AC⋅cosCCD = AC \cdot cos CCD=AC⋅cosC
AF=AC⋅cosAAF = AC \cdot cos AAF=AC⋅cosA
BD=AB⋅cosBBD = AB \cdot cos BBD=AB⋅cosB
CE=BC⋅cosCCE = BC \cdot cos CCE=BC⋅cosC
Thay thế vào:

AE⋅BF⋅CD=(AB⋅cosA)⋅(BC⋅cosB)⋅(AC⋅cosC)AE \cdot BF \cdot CD = (AB \cdot cos A) \cdot (BC \cdot cos B) \cdot (AC \cdot cos C)AE⋅BF⋅CD=(AB⋅cosA)⋅(BC⋅cosB)⋅(AC⋅cosC)
AF⋅BD⋅CE=(AC⋅cosA)⋅(AB⋅cosB)⋅(BC⋅cosC)AF \cdot BD \cdot CE = (AC \cdot cos A) \cdot (AB \cdot cos B) \cdot (BC \cdot cos C)AF⋅BD⋅CE=(AC⋅cosA)⋅(AB⋅cosB)⋅(BC⋅cosC)
Kết luận: Hai tích này bằng nhau, do đó: AE⋅BF⋅CD=AF⋅BD⋅CEAE \cdot BF \cdot CD = AF \cdot BD \cdot CEAE⋅BF⋅CD=AF⋅BD⋅CE
Bước 2: Chứng minh AE.BF.CD = DE.EF.FD

Tam giác đồng dạng:

Xét tứ giác BFEC, ta có: ∠BEC=∠BFC=900\angle BEC = \angle BFC = 90^0∠BEC=∠BFC=900. Vì vậy, BFEC là tứ giác nội tiếp.
Từ đó, ta có: ∠EBC=∠EFC\angle EBC = \angle EFC∠EBC=∠EFC (cùng chắn cung EC) và ∠FCB=∠FEB\angle FCB = \angle FEB∠FCB=∠FEB (cùng chắn cung FB)
Chứng minh tam giác đồng dạng:

△AFE∼△ABC\triangle AFE \sim \triangle ABC△AFE∼△ABC (do ∠A\angle A∠A chung và ∠AFE=∠ABC\angle AFE = \angle ABC∠AFE=∠ABC)
△BFD∼△BCA\triangle BFD \sim \triangle BCA△BFD∼△BCA
△CED∼△CAB\triangle CED \sim \triangle CAB△CED∼△CAB
Do đó, △DEF∼△ABC\triangle DEF \sim \triangle ABC△DEF∼△ABC
Sử dụng tính chất tỉ lệ:

Vì tứ giác BFEC nội tiếp nên ∠AFE=∠ABC\angle AFE = \angle ABC∠AFE=∠ABC (cùng chắn cung AE trong tứ giác BFEC).
∠A\angle A∠A chung.
Do đó, △AEF∼△ACB\triangle AEF \sim \triangle ACB△AEF∼△ACB, suy ra AEAC=AFAB\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB}ACAE​=ABAF​
Tương tự:BFBC=BDAB\frac{BF}{BC} = \frac{BD}{AB}BCBF​=ABBD​
CDAC=CEBC\frac{CD}{AC} = \frac{CE}{BC}ACCD​=BCCE​
Biến đổi:

Ta có: AEAC⋅BFBC⋅CDAB=AFAB⋅BDAB⋅CEBC\frac{AE}{AC} \cdot \frac{BF}{BC} \cdot \frac{CD}{AB} = \frac{AF}{AB} \cdot \frac{BD}{AB} \cdot \frac{CE}{BC}ACAE​⋅BCBF​⋅ABCD​=ABAF​⋅ABBD​⋅BCCE​
Từ các tam giác đồng dạng, ta cũng có:DEBC=AEAB\frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AB}BCDE​=ABAE​
EFAB=BFBC\frac{EF}{AB} = \frac{BF}{BC}ABEF​=BCBF​
FDAC=CDBC\frac{FD}{AC} = \frac{CD}{BC}ACFD​=BCCD​
Do đó:DEBC⋅EFAB⋅FDAC=AE⋅BF⋅CDAB⋅BC⋅AC=AF⋅BD⋅CEAB⋅BC⋅AC\frac{DE}{BC} \cdot \frac{EF}{AB} \cdot \frac{FD}{AC} = \frac{AE \cdot BF \cdot CD}{AB \cdot BC \cdot AC} = \frac{AF \cdot BD \cdot CE}{AB \cdot BC \cdot AC}BCDE​⋅ABEF​⋅ACFD​=AB⋅BC⋅ACAE⋅BF⋅CD​=AB⋅BC⋅ACAF⋅BD⋅CE​
Kết hợp các kết quả:

Từ AE.BF.CD = AF.BD.CE và các tỉ lệ trên, ta có thể suy ra AE.BF.CD = DE.EF.FD.
Vì AE.BF.CD = AF.BD.CE, nên AF.BD.CE = DE.EF.FD
Kết luận:

AE⋅BF⋅CD=AF⋅BD⋅CEAE \cdot BF \cdot CD = AF \cdot BD \cdot CEAE⋅BF⋅CD=AF⋅BD⋅CE
AE⋅BF⋅CD=DE⋅EF⋅FDAE \cdot BF \cdot CD = DE \cdot EF \cdot FDAE⋅BF⋅CD=DE⋅EF⋅FD
Vậy: AE⋅BF⋅CD=AF⋅BD⋅CE=DE⋅EF⋅FDAE \cdot BF \cdot CD = AF \cdot BD \cdot CE = DE \cdot EF \cdot FDAE⋅BF⋅CD=AF⋅BD⋅CE=DE⋅EF⋅FD