a) Chứng minh: DC × AB = DA × CB

Xét tam giác ABC vuông tại A: BD là phân giác của góc ABC. Theo tính chất đường phân giác, ta có:
ADAB=DCBC\frac{AD}{AB} = \frac{DC}{BC}ABAD​=BCDC​
Nhân chéo, ta được:
AD×BC=AB×DCAD \times BC = AB \times DCAD×BC=AB×DC
DC×AB=DA×CBDC \times AB = DA \times CBDC×AB=DA×CB
Vậy, DC × AB = DA × CB
b) Tính BC, AD, DC

Tính BC:Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác ABC vuông tại A:
BC2=AB2+AC2=122+162=144+256=400BC^2 = AB^2 + AC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400BC2=AB2+AC2=122+162=144+256=400
BC=400=20 cmBC = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}BC=400​=20 cm
Tính AD và DC:Áp dụng tính chất đường phân giác:
ADAB=CDBC\frac{AD}{AB} = \frac{CD}{BC}ABAD​=BCCD​
AD12=CD20\frac{AD}{12} = \frac{CD}{20}12AD​=20CD​
AD12=AC−AD20\frac{AD}{12} = \frac{AC - AD}{20}12AD​=20AC−AD​
AD12=16−AD20\frac{AD}{12} = \frac{16 - AD}{20}12AD​=2016−AD​
Nhân chéo và giải phương trình:
20×AD=12×(16−AD)20 \times AD = 12 \times (16 - AD)20×AD=12×(16−AD)
20×AD=192−12×AD20 \times AD = 192 - 12 \times AD20×AD=192−12×AD
32×AD=19232 \times AD = 19232×AD=192
AD=6 cmAD = 6 \text{ cm}AD=6 cm
Tính CD:
CD=AC−AD=16−6=10 cmCD = AC - AD = 16 - 6 = 10 \text{ cm}CD=AC−AD=16−6=10 cm
c) Chứng minh CB/AB = CE/BE

Xét tam giác ABC vuông tại A: DE ⊥ AC tại D, nên DE // AB (cùng vuông góc với AC).
Tam giác ABC và tam giác EDC đồng dạng (g.g):∠BAC = ∠DEC = 90°
∠ACB là góc chung
Vậy,CBCE=CACD\frac{CB}{CE} = \frac{CA}{CD}CECB​=CDCA​
Xét tam giác ABC và tam giác EDB:Vì DE // AB, nên ∠BDE = ∠ABC (đồng vị)
BD là phân giác của góc ABC, nên ∠ABD = ∠EBD
Xét tam giác BDE và tam giác BDA
∠BDE = ∠BAC = 90 độ
∠DBE = ∠DBA
BD là cạnh chung
=> Tam giác EDB = Tam giác ADB (cạnh huyền-góc nhọn)
=> ED = AB và BE = BA
Từ kết quả trên, ta có:CBAB=BCED\frac{CB}{AB} = \frac{BC}{ED}ABCB​=EDBC​
Vì DE ⊥ AC và BD là phân giác góc ABC nên tam giác BDE = tam giác BDA => BE = AB
BCED=BCAB=CE+BEAB\frac{BC}{ED} = \frac{BC}{AB} = \frac{CE+BE}{AB}EDBC​=ABBC​=ABCE+BE​
Vì BE = BA, =>CBAB=CE+ABAB⇔CBAB=CEAB+1\frac{CB}{AB} = \frac{CE + AB}{AB} \Leftrightarrow \frac{CB}{AB} = \frac{CE}{AB} + 1ABCB​=ABCE+AB​⇔ABCB​=ABCE​+1
Nhưng đề yêu cầu chứng minh:CBAB=CEBE\frac{CB}{AB} = \frac{CE}{BE}ABCB​=BECE​
Nhận xét:Tam giác BDE và Tam giác BDA bằng nhau, vì DE // AB và BD là phân giác
Do đó BE = BA
Thay BE = BA vào công thức cần chứng minh, ta cóCBAB=CEBE⇔CBAB=CEBA⇔CB=CE\frac{CB}{AB} = \frac{CE}{BE} \Leftrightarrow \frac{CB}{AB} = \frac{CE}{BA} \Leftrightarrow CB = CEABCB​=BECE​⇔ABCB​=BACE​⇔CB=CE(vô lý vì CE < CB)
Kết luận: Có lẽ đề có vấn đề ở chỗ cần chứng minh, có thể là chứng minh một biểu thức khác, hoặc cần thêm điều kiện nào đó.
Kết luận cuối cùng:

BC = 20 cm
AD = 6 cm
CD = 10 cm
Đã chứng minh được phần a.
Phần c, có thể đề bài bị sai, hoặc cần điều kiện bổ sung.