Cho tam giác △ABD vuông tại A, với AB<AD. Gọi M là trung điểm của BD và C là điểm đối xứng của A qua M.

Câu a: Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật
Chứng minh:

Chứng minh ABCD là tứ giác có các góc vuông:

Do M là trung điểm của BD và C là điểm đối xứng của A qua M, ta có: M là trung điểm của AC.
Vì A đối xứng với C qua M, nên: AM=MC.
Vì △ABD vuông tại A, ta có AB⊥AD.
Do C đối xứng với A qua M, nên C cũng thẳng hàng với D.
Vì MM trung điểm BDBD, nên AC⊥BD
Kết luận:

ABCDcó AB⊥AD và AC⊥BD
Tứ giác có 4 góc vuông nên ABCD là hình chữ nhật.
 Kết luận: ABCD là hình chữ nhật.

Câu b: Chứng minh ID=IE 
Giả thiết:

EE là điểm trên tia đối của DA sao cho DA=DE.
II là trung điểm của CD.
Chứng minh:

Xét △ADE:

Do DA=DEDA = DE nên △ADE là tam giác cân tại D.
II là trung điểm của CD, tức là IC=ID.
Chứng minh ID=IE:

Vì △ADE cân tại D và I là trung điểm của CD, nên đường trung tuyến ID cũng là đường trung trực của đoạn CE.
Suy ra, ID=IE.
✅ Kết luận: ID=IE.

Câu c: Chứng minh tứ giác BDCK là hình thang cân
Giả thiết:

AH là đường vuông góc hạ từ A xuống BD.
K là điểm đối xứng của A qua H.
Chứng minh:

Xác định tính chất hình thang của BDCK:

Do K là điểm đối xứng của A qua H, ta có H là trung điểm của AK.
Vì AH⊥BD, nên K cũng đối xứng với A qua đường vuông góc với BD.
Suy ra, BD∥CK, nên BDCK là hình thang.
Chứng minh hình thang cân:

Vì K đối xứng với A qua H, ta có AK=AH.
Do C là đối xứng của A qua M, nên AM=MC.
Vì M là trung điểm của BD, ta có BM=MD.
Do đó, BC=DK.
Hai cạnh bên BC và DK bằng nhau, nên BDCK là hình thang cân.

 Kết luận: BDCK là hình thang cân.

a, Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật:

Chứng minh:Vì M là trung điểm của BD và C đối xứng với A qua M nên MA = MC.
Do đó, tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Vậy ABCD là hình chữ nhật (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).
b, Chứng minh ID = IE:

Chứng minh:Vì I là trung điểm của CD nên ID = IC
Xét tam giác ADC và tam giác EDC có:AD = DE (theo giả thiết)
∠ADC = ∠EDC (vì cùng bằng góc vuông)
CD là cạnh chung
Do đó, tam giác ADC = tam giác EDC (c.g.c)
Suy ra, IE = IA
Do đó, ID = IE (vì cùng bằng IA)
c, Chứng minh tứ giác BDCK là hình thang cân:

Chứng minh:Vì AH ⊥ BD nên AH là đường cao của tam giác ABD.
Vì K đối xứng với A qua H nên H là trung điểm của AK.
Do đó, BH = DK (vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD, và tứ giác ABKH có hai đường chéo AK và BH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên AB = CD).
Vậy, tứ giác BDCK là hình thang cân (vì có hai cạnh song song và hai cạnh bên bằng nhau).
Vậy, ta đã chứng minh được các phần a, b, và c của bài toán.