Để chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP, ta có thể sử dụng tiêu chuẩn đồng dạng cạnh - góc - cạnh (c-g-c).

Cách chứng minh:

Xét các cặp cạnh tương ứng:

Theo giả thiết, ta có: OAOM=23\frac{OA}{OM} = \frac{2}{3}OMOA​=32​, suy ra OMOA=32\frac{OM}{OA} = \frac{3}{2}OAOM​=23​.
Tương tự: OBON=23\frac{OB}{ON} = \frac{2}{3}ONOB​=32​, suy ra ONOB=32\frac{ON}{OB} = \frac{3}{2}OBON​=23​.
Và: OCOP=23\frac{OC}{OP} = \frac{2}{3}OPOC​=32​, suy ra OPOC=32\frac{OP}{OC} = \frac{3}{2}OCOP​=23​.
Chứng minh các cặp tam giác có chung góc:

Xét tam giác OAB và tam giác ONM:∠AOB\angle AOB∠AOB là góc chung.
OAOM=OBON=23\frac{OA}{OM} = \frac{OB}{ON} = \frac{2}{3}OMOA​=ONOB​=32​. Hay OMOA=ONOB=32\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB} = \frac{3}{2}OAOM​=OBON​=23​
Vậy, theo tiêu chuẩn c-g-c, ta có: △OAB∼△ONM\triangle OAB \sim \triangle ONM△OAB∼△ONM (đồng dạng).
Tương tự với các cặp tam giác còn lại:

Xét tam giác OBC và tam giác OPN:

∠BOC\angle BOC∠BOC là góc chung.
OBON=OCOP=23\frac{OB}{ON} = \frac{OC}{OP} = \frac{2}{3}ONOB​=OPOC​=32​. Hay ONOB=OPOC=32\frac{ON}{OB} = \frac{OP}{OC} = \frac{3}{2}OBON​=OCOP​=23​
Vậy, theo tiêu chuẩn c-g-c, ta có: △OBC∼△OPN\triangle OBC \sim \triangle OPN△OBC∼△OPN (đồng dạng).
Xét tam giác OCA và tam giác OPM:

∠COA\angle COA∠COA là góc chung.
OCOP=OAOM=23\frac{OC}{OP} = \frac{OA}{OM} = \frac{2}{3}OPOC​=OMOA​=32​. Hay OPOC=OMOA=32\frac{OP}{OC} = \frac{OM}{OA} = \frac{3}{2}OCOP​=OAOM​=23​
Vậy, theo tiêu chuẩn c-g-c, ta có: △OCA∼△OPM\triangle OCA \sim \triangle OPM△OCA∼△OPM (đồng dạng).
Từ các tam giác đồng dạng, suy ra:

△OAB∼△ONM\triangle OAB \sim \triangle ONM△OAB∼△ONM ⇒\Rightarrow⇒ ∠OAB=∠ONM\angle OAB = \angle ONM∠OAB=∠ONM và ∠OBA=∠ONM\angle OBA = \angle ONM∠OBA=∠ONM
△OBC∼△OPN\triangle OBC \sim \triangle OPN△OBC∼△OPN ⇒\Rightarrow⇒ ∠OBC=∠OPN\angle OBC = \angle OPN∠OBC=∠OPN và ∠OCB=∠OPN\angle OCB = \angle OPN∠OCB=∠OPN
△OCA∼△OPM\triangle OCA \sim \triangle OPM△OCA∼△OPM ⇒\Rightarrow⇒ ∠OCA=∠OPM\angle OCA = \angle OPM∠OCA=∠OPM và ∠OAC=∠OMP\angle OAC = \angle OMP∠OAC=∠OMP
Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP:

Xét tam giác ABC và tam giác MNP:∠BAC=∠OAB=∠OMN=∠MNP\angle BAC = \angle OAB = \angle OMN = \angle MNP∠BAC=∠OAB=∠OMN=∠MNP (do ∠OAB=∠ONM\angle OAB = \angle ONM∠OAB=∠ONM và O, N, P thẳng hàng).
∠ABC=∠OBC+∠OBA=∠OPN+∠OMN=∠MNP\angle ABC = \angle OBC + \angle OBA = \angle OPN + \angle OMN = \angle MNP∠ABC=∠OBC+∠OBA=∠OPN+∠OMN=∠MNP
∠ACB=∠OAC+∠OCB=∠OMP+∠OPN=∠PMN\angle ACB = \angle OAC + \angle OCB = \angle OMP + \angle OPN = \angle PMN∠ACB=∠OAC+∠OCB=∠OMP+∠OPN=∠PMN
Do đó, △ABC∼△MNP\triangle ABC \sim \triangle MNP△ABC∼△MNP (theo trường hợp đồng dạng góc-góc-góc - g.g.g).
Kết luận:

Vậy, tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP.