Để chứng minh rằng AB⋅DO=DB⋅IOAB \cdot DO = DB \cdot IOAB⋅DO=DB⋅IO trong hình thang ABCDABCDABCD với AB∥CDAB \parallel CDAB∥CD, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học của hình thang và định lý Thales.

1. Tô màu và ký hiệu
Gọi ABABAB và CDCDCD là hai cạnh đáy của hình thang, trong đó AB∥CDAB \parallel CDAB∥CD.
Gọi OOO là giao điểm của hai đường chéo ACACAC và BDBDBD.
Kẻ đường thẳng OIOIOI song song với CDCDCD và III là điểm cắt của đường thẳng này với ADADAD.
2. Các tam giác đồng dạng
Vì OI∥CDOI \parallel CDOI∥CD, do đó theo định lý Thales, chúng ta có:
AOOC=AIID\frac{AO}{OC} = \frac{AI}{ID}OCAO​=IDAI​
và
BOOD=BIIC.\frac{BO}{OD} = \frac{BI}{IC}.ODBO​=ICBI​.

3. Tìm mối quan hệ giữa AB và CD
Để chứng minh AB⋅DO=DB⋅IOAB \cdot DO = DB \cdot IOAB⋅DO=DB⋅IO, chúng ta áp dụng các tỉ số đã có từ định lý Thales:

Gọi AB=aAB = aAB=a, CD=bCD = bCD=b, các đoạn AD=cAD = cAD=c, DB=dDB = dDB=d.
Từ AOOC=AIID\frac{AO}{OC} = \frac{AI}{ID}OCAO​=IDAI​:
AOc−AO=AId−AI.\frac{AO}{c - AO} = \frac{AI}{d - AI}.c−AOAO​=d−AIAI​.

Từ BOOD=BIIC\frac{BO}{OD} = \frac{BI}{IC}ODBO​=ICBI​:
BOd−BO=BIc−BI.\frac{BO}{d - BO} = \frac{BI}{c - BI}.d−BOBO​=c−BIBI​.

4. Giải hệ phương trình
Chúng ta sẽ lấy tỉ số nguyên từ OI∥CDOI \parallel CDOI∥CD:
ABCD=AIID=DOOB.\frac{AB}{CD} = \frac{AI}{ID} = \frac{DO}{OB}.CDAB​=IDAI​=OBDO​.

5. Áp dụng các tỉ lệ
Dựa trên các tỉ số vừa chứng minh được, ta có thể thiết lập phương trình:
ABDB=AIIO.\frac{AB}{DB} = \frac{AI}{IO}.DBAB​=IOAI​.

6. Kết luận
Từ đó, ta kết luận rằng:
AB⋅DO=DB⋅IOAB \cdot DO = DB \cdot IOAB⋅DO=DB⋅IO
như đề bài yêu cầu.

Chứng minh đã hoàn tất!