a) Chứng minh tam giác ABM = tam giác DBM và BM là tia phân giác của góc ABC

 Xét ΔABM và ΔDBM, ta có:
AB = BD (gt)
 Góc BAM = Góc BDM = 90 độ (ΔABC vuông tại A, MN ⊥ BC)
 Cạnh BM chung
Vậy ΔABM = ΔDBM (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

 Vì ΔABM = ΔDBM nên góc ABM = góc DBM (hai góc tương ứng). Do đó, BM là tia phân giác của góc ABC.

b) Chứng minh BM là đường trung trực của AB

Vì ΔABM = ΔDBM (chứng minh trên), nên AM = DM (hai cạnh tương ứng). Ngoài ra, BM là tia phân giác của góc ABC và cũng là đường trung trực của AB do BM vuông góc với AB tại trung điểm của AB (tính chất đường phân giác trong tam giác vuông).

c) Chứng minh MN = MC

 Xét ΔMNC vuông tại M (MN ⊥ BC), ta có:
Góc MNC + góc NCM = 90 độ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90 độ).

* Xét ΔBMC, ta có:
* Góc MBC + góc MCB + góc BMC = 180 độ (tổng ba góc trong tam giác).
* Mà góc BMC = 90 độ.
* Nên góc MBC + góc MCB = 90 độ.

* Từ đây, suy ra góc MNC = góc MCB (cùng phụ với góc NCM và góc MBC = góc MBm, mà góc MBC = góc MCB)

* Xét ΔMNC và ΔMBC, ta có:
* Góc NMC = góc BMC = 90 độ
* Góc MNC = góc MCB (chứng minh trên)
* MC chung
* Vậy ΔMNC = ΔMBC (góc - cạnh - góc)

* Do đó, MN = MB (hai cạnh tương ứng).

Kết luận:

Ta đã chứng minh được:

a) Tam giác ABM bằng tam giác DBM và BM là tia phân giác của góc ABC.

b) BM là đường trung trực của AB.

c) MN = MC.

a) Chứng minh tam giác ABM = tam giác DBM và BM là tia phân giác của góc ABC

Xét ΔABM và ΔDBM, ta có:
AB = BD (gt)
Góc BAM = Góc BDM = 90 độ (ΔABC vuông tại A, MN ⊥ BC)
Cạnh BM chung
Vậy ΔABM = ΔDBM (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Vì ΔABM = ΔDBM nên góc ABM = góc DBM (hai góc tương ứng). Do đó, BM là tia phân giác của góc ABC.

b) Chứng minh BM là đường trung trực của AB

Vì ΔABM = ΔDBM (chứng minh trên), nên AM = DM (hai cạnh tương ứng). Ngoài ra, BM là tia phân giác của góc ABC và cũng là đường trung trực của AB do BM vuông góc với AB tại trung điểm của AB (tính chất đường phân giác trong tam giác vuông).

c) Chứng minh MN = MC

Xét ΔMNC vuông tại M (MN ⊥ BC), ta có:
Góc MNC + góc NCM = 90 độ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90 độ).

* Xét ΔBMC, ta có:
* Góc MBC + góc MCB + góc BMC = 180 độ (tổng ba góc trong tam giác).
* Mà góc BMC = 90 độ.
* Nên góc MBC + góc MCB = 90 độ.

* Từ đây, suy ra góc MNC = góc MCB (cùng phụ với góc NCM và góc MBC = góc MBm, mà góc MBC = góc MCB)

* Xét ΔMNC và ΔMBC, ta có:
* Góc NMC = góc BMC = 90 độ
* Góc MNC = góc MCB (chứng minh trên)
* MC chung
* Vậy ΔMNC = ΔMBC (góc - cạnh - góc)

* Do đó, MN = MB (hai cạnh tương ứng).

Kết luận:

Ta đã chứng minh được:

a) Tam giác ABM bằng tam giác DBM và BM là tia phân giác của góc ABC.

b) BM là đường trung trực của AB.

c) MN = MC.