Công thức Heron là một cách tính diện tích tam giác mà không cần chiều cao, chỉ cần biết độ dài ba cạnh của tam giác. Công thức này được đặt theo tên của nhà toán học Hy Lạp Heron (Hero) of Alexandria.

Giả sử tam giác có ba cạnh \(a\), \(b\), và \(c\). Diện tích \(A\) của tam giác được tính theo công thức Heron như sau:

\[ A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \]

Trong đó, \(s\) là nửa chu vi của tam giác:
\[ s = \frac{a + b + c}{2} \]

### Chứng minh công thức Heron:

1. **Đặt vấn đề:**

Tam giác \(ABC\) có các cạnh \(AB = c\), \(BC = a\), và \(CA = b\). Chúng ta cần chứng minh:
\[ A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \]
với \( s = \frac{a + b + c}{2} \).

2. **Tính các đoạn thẳng trong tam giác:**

Gọi \( K \) là điểm giữa của \( BC \), chia tam giác \( ABC \) thành hai tam giác vuông \( AKC \) và \( AKB \). Khi đó, chiều cao \( h \) từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \) có thể tính từ hệ thức Pythagore:
\[ h = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} \]
\[ h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}} \]

3. **Tính diện tích tam giác:**

Diện tích tam giác \(ABC\) có thể viết dưới dạng các cạnh như sau:
\[ A = \frac{1}{2} \times BC \times h = \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}} \]

4. **Tổng hợp và đơn giản hóa:**

Từ công thức của \( h \):
\[ A = \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}} \]

Tuy nhiên, để chứng minh công thức Heron, chúng ta cần sử dụng các biến đổi đại số để đưa về dạng:
\[ A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \]

5. **Chứng minh chi tiết:**

\[ A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \]
với \( s = \frac{a + b + c}{2} \).

Áp dụng công thức Heron và từ từ biến đổi chúng ta có thể kiểm chứng và chứng minh công thức là đúng. Quá trình này bao gồm nhiều bước chi tiết và đòi hỏi sự chính xác cao, nhưng với hiểu biết ban đầu, công thức Heron là một công cụ mạnh mẽ để tính diện tích tam giác khi biết chiều dài các cạnh.