Để chứng minh rằng \( n^3 - n + 3 \) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên \( n \geq 1 \), ta sẽ xem xét các giá trị của \( n \) theo modulo 3 và áp dụng định lý.

 Bước 1: Xét các giá trị của \( n \) theo modulo 3
Mọi số tự nhiên \( n \) sẽ có dạng \( 3k \), \( 3k + 1 \), hoặc \( 3k + 2 \) (với \( k \) là số nguyên không âm).

Trường hợp 1: \( n \equiv 0 \pmod{3} \)
\[ n = 3k \]
\[ n^3 - n + 3 = (3k)^3 - 3k + 3 = 27k^3 - 3k + 3 \]
\[ n^3 - n + 3 \equiv 0 - 0 + 3 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3} \]

 Trường hợp 2: \( n \equiv 1 \pmod{3} \)
\[ n = 3k + 1 \]
\[ n^3 - n + 3 = (3k + 1)^3 - (3k + 1) + 3 \]
\[ = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 - 3k - 1 + 3 \]
\[ = 27k^3 + 27k^2 + 6k + 3 \]
\[ n^3 - n + 3 \equiv 0 + 0 + 0 + 3 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3} \]

Trường hợp 3: \( n \equiv 2 \pmod{3} \)
\[ n = 3k + 2 \]
\[ n^3 - n + 3 = (3k + 2)^3 - (3k + 2) + 3 \]
\[ = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8 - 3k - 2 + 3 \]
\[ = 27k^3 + 54k^2 + 33k + 9 \]
\[ n^3 - n + 3 \equiv 0 + 0 + 0 + 9 \equiv 9 \equiv 0 \pmod{3} \]

 Kết luận
Dựa vào các trường hợp trên, ta thấy rằng:
\[ n^3 - n + 3 \equiv 0 \pmod{3} \]
Vậy \( n^3 - n + 3 \) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên \( n \geq 1 \).