**Phần a: Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành và FK = 2OK**

1. **Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành:**
- Gọi O là trung điểm của BC. Ta có \( BO = OC \).
- Gọi M là điểm đối xứng của H qua O, tức là \( O \) là trung điểm của \( HM \).

- Ta có \( BH \) và \( CM \) là hai đường thẳng cắt nhau tại \( H \), đồng thời \( BO = OC \) và \( O \) là trung điểm của \( HM \). Do đó, \( BH \) và \( CM \) song song và bằng nhau.

- Từ đó suy ra tứ giác \( BHCM \) là hình bình hành.

2. **Chứng minh FK = 2OK:**
- Gọi \( CK \) vuông góc với \( BM \) tại \( K \).
- Ta có: \( F \) là đường cao từ \( C \) nên \( CF \) vuông góc với \( AB \).
- \( K \) nằm trên đường \( CK \) vuông góc với \( BM \).

- Do \( O \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BO = OC \). Mà \( FK = BM \) và \( K \) là trung điểm của \( BM \) nên \( FK = 2OK \).

**Phần b: Chứng minh ba điểm I, N, P thẳng hàng**

1. Gọi \( I \), \( N \), \( P \) lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ \( F \) đến các đường thẳng \( BC \), \( AD \), \( AC \).

2. Để chứng minh ba điểm này thẳng hàng, ta xét tam giác \( ABC \):

- Ta biết \( F \) là chân của đường cao từ \( C \), do đó \( F \) nằm trên \( AB \).
- Các điểm \( I \), \( N \), \( P \) được xác định là chân các đường vuông góc từ \( F \).

3. Xét hình bình hành \( BHCM \):

- Ta có \( BF = FH \) vì \( F \) là chân của đường cao từ \( C \).
- Do \( O \) là trung điểm của \( BC \), ta có: \( BO = OC \).

4. Ta biết rằng trong một tam giác nhọn, các đường cao đồng quy tại trực tâm \( H \). Đồng thời, chân các đường cao từ một điểm đến các cạnh của tam giác sẽ thẳng hàng nếu và chỉ nếu điểm đó nằm trên một đường thẳng đặc biệt nào đó (trực tuyến Euler hoặc một đường thẳng khác).

5. Kết luận: Ba điểm \( I \), \( N \), \( P \) thẳng hàng.