Phương trình bạn đưa ra là:

$(2x^2 + 3x - 1)^2 - 5(2x^2 + 3x + 3) + 25 = 0$

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt $y = 2x^2 + 3x$, ta có phương trình trở thành:

$(y - 1)^2 - 5(y + 3) + 25 = 0$

Bước 2: Giải phương trình theo y

Mở rộng các biểu thức trong phương trình:

$(y - 1)^2 = y^2 - 2y + 1$

$-5(y + 3) = -5y - 15$

Thay vào phương trình ban đầu:

$y^2 - 2y + 1 - 5y - 15 + 25 = 0$

Rút gọn:

$y^2 - 7y + 11 = 0$

Bước 3: Giải phương trình bậc 2 theo y

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2 $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ với $a = 1, b = -7, c = 11$:

$y = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(11)}}{2(1)} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Vậy nghiệm của $y$ là:

$y = \frac{7 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{hoặc} \quad y = \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$

Bước 4: Thay lại $y = 2x^2 + 3x$

Với mỗi giá trị của $y$, ta có hệ phương trình bậc 2 đối với $x$:

$2x^2 + 3x = \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$
$2x^2 + 3x = \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$
Giải từng phương trình này để tìm nghiệm $x$.

Loại 1: Phương trình dạng: m.a2f(x)+n.af(x)+p=0m.a2f(x)+n.af(x)+p=0

Ta đặt t=af(x)(t>0)t=af(x)(t>0) đưa về dạng phương trình ẩn t ta được: PT→m.t2+n.t+p=0PT→m.t2+n.t+p=0 

Với phương trình: m.a3f(x)+n.a2f(x)+p.af(x)+q=0m.a3f(x)+n.a2f(x)+p.af(x)+q=0 ta cũng đặt t=af(x)(t>0)t=af(x)(t>0) đưa về phương trình bậc 3 đối với ẩn t.
Loại 2: Phương trình dạng: m.A2f(x)+n.(AB)f(x)+p.(B)2f(x)=0m.A2f(x)+n.(AB)f(x)+p.(B)2f(x)=0

Chia 2 vế của phương trình (2) cho (B)2f(x)(B)2f(x) ta được 

PT⇔m.A2f(x)+n.(AB)f(x)+p.(B)2f(x)=0⇔m.(AB)2f(x)+n.(AB)f(x)+p=0PT⇔m.A2f(x)+n.(AB)f(x)+p.(B)2f(x)=0⇔m.(AB)2f(x)+n.(AB)f(x)+p=0

Đặt t=(AB)f(x)(t>0)t=(AB)f(x)(t>0) suy ra m.t2+n.t+p=0m.t2+n.t+p=0

Với phương trình: m.A3f(x)+n.(A2B)f(x)+p.(AB2)f(x)+q.(B)3f(x)=0m.A3f(x)+n.(A2B)f(x)+p.(AB2)f(x)+q.(B)3f(x)=0 ta chia cả 2 vế của phương trình cho B3f(x)B3f(x) và đặt t=(AB)3t=(AB)3 (với t>0t>0)
Loại 3: Phương trình dạng: m.A2f(x)+n.Af(x)+g(x)+p.A2g(x)=0m.A2f(x)+n.Af(x)+g(x)+p.A2g(x)=0

PT⇔m.A2f(x)+n.Af(x)+g(x)+p.A2g(x)=0⇔m.A2[f(x)−g(x)]+n.Af(x)−g(x)+p=0PT⇔m.A2f(x)+n.Af(x)+g(x)+p.A2g(x)=0⇔m.A2[f(x)−g(x)]+n.Af(x)−g(x)+p=0 

Đặt t=Af(x)−g(x)(t>0)⇒mt2+nt+p=0t=Af(x)−g(x)(t>0)⇒mt2+nt+p=0.
Một số bài tập trắc nghiệm phương trình mũ đặt ẩn phụ có Lời giải chi tiết
Bài tập 1: Giải các phương trình sau: 

a) (2+√3)x+(2−√3)x=4(2+3)x+(2−3)x=4

b) 23x+1−7.22x+7.2x=223x+1−7.22x+7.2x=2
Lời giải chi tiết

a) Do (2+√3)x.(2−√3)x=1⇒(2−√3)x=1(2+√3)x(2+3)x.(2−3)x=1⇒(2−3)x=1(2+3)x

Đặt t=(2+√3)x⇒(2−√3)x=1t⇒PT→t+1t=4⇔[t=2+√3t=2−√3t=(2+3)x⇒(2−3)x=1t⇒PT→t+1t=4⇔[t=2+3t=2−3

Với t=2+√3⇒(2+√3)x=(2+√3)⇔x=1t=2+3⇒(2+3)x=(2+3)⇔x=1

Với t=2−√3⇒(2+√3)x=(2−√3)=(2+√3)−1⇔x=−1t=2−3⇒(2+3)x=(2−3)=(2+3)−1⇔x=−1

b) Đặt t=2x>0t=2x>0 khi đó PT⇒2t3−7t2+7t−2=0⇔⎡⎢⎣t=2t=1t=12⇒⎡⎢⎣x=1x=0x=−1PT⇒2t3−7t2+7t−2=0⇔[t=2t=1t=12⇒[x=1x=0x=−1.

Bài tập 2: Giải các phương trình sau: 

a) 3.9x+7.6x−6.4x=03.9x+7.6x−6.4x=0

b) 2.32x2−17.3x2+x−9x+1=02.32x2−17.3x2+x−9x+1=0
Lời giải chi tiết

a) Ta có: PT⇔3.(94)x+7.(64)x−6=0⇔3(32)2x+7(32)x−6=0PT⇔3.(94)x+7.(64)x−6=0⇔3(32)2x+7(32)x−6=0

Đặt t=(32)x(t>0)t=(32)x(t>0) ta có: 3t2+7t−6=0⇔[t=23t=−3(loai)⇔(32)x=23⇔x=−13t2+7t−6=0⇔[t=23t=−3(loai)⇔(32)x=23⇔x=−1

b) PT⇔2.32x2−17.3x2+x−9.32x=0⇔2.32x2−2x−17.3x2−x−9=0PT⇔2.32x2−17.3x2+x−9.32x=0⇔2.32x2−2x−17.3x2−x−9=0

Đặt t=3x2−x>0t=3x2−x>0 ta có: 2t2−17t−9=0⇔[t=−12(loai)t=9=3x2−x⇒x2−x=2⇔[x=2x=−12t2−17t−9=0⇔[t=−12(loai)t=9=3x2−x⇒x2−x=2⇔[x=2x=−1

Vậy nghiệm của phương trình là x=2;x=−1x=2;x=−1.

A. Chọn B.

Bài tập 3: Tập nghiệm của phương trình 9x−5.3x+6=09x−5.3x+6=0 là: 

A. S={log32;1}S={log32;1}. B. S={log32;2}S={log32;2}. C. S={log23;1}S={log23;1}.              D. S={log23;2}S={log23;2}.
Lời giải chi tiết

Đặt t=3x(t>0)⇒9x=t2⇒t2−5t+6=0⇔[t=2t=3⇔[3x=23x=3⇔[x=log32x=1t=3x(t>0)⇒9x=t2⇒t2−5t+6=0⇔[t=2t=3⇔[3x=23x=3⇔[x=log32x=1 . Chọn A.

Bài tập 4: Tính tích các nghiệm của phương trình 2x+3.24−x=162x+3.24−x=16 là: 

A. P=log224P=log224. B. P=log248P=log248. C. P=log2144P=log2144. D. P=log26P=log26.
Lời giải chi tiết

Ta có: PT⇔2x+3.162x=16⇔(2x)2−16.2x+48=0⇔[2x=42x=12⇔[x=2x=log212PT⇔2x+3.162x=16⇔(2x)2−16.2x+48=0⇔[2x=42x=12⇔[x=2x=log212

Do đó P=2log212=log2144P=2log212=log2144. Chọn C.

Bài tập 5: Tính tổng các nghiệm của phương trình 25x−7.5x+10=025x−7.5x+10=0 

A. log52log52. B. log510log510. C. log520log520. D. 7.
Lời giải chi tiết

Đặt t=5x>0t=5x>0 ta có: t2−7t+10=0⇔[t=2t=5⇔[5x=25x=5⇔[x=log52x=1t2−7t+10=0⇔[t=2t=5⇔[5x=25x=5⇔[x=log52x=1

Do đó P=1+log52=log510P=1+log52=log510. Chọn B.

Bài tập 6: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 9x2+x−1−10.3x2+x−2+1=29x2+x−1−10.3x2+x−2+1=2 

A. T=−1T=−1. B. T=−2T=−2. C. T=0T=0. D. T=2T=2.
Lời giải chi tiết

PT⇔9x2+x−1−103.3x2+x−1+1=0PT⇔9x2+x−1−103.3x2+x−1+1=0. Đặt t=3x2+x−1t=3x2+x−1 (với t>0t>0)

Khi đó PT→t2−103t+1=0⇔[t=3t=13⇒[x2+x−1=1x2+x−1=−1⇔[x=1;x=−2x=−1;x=0PT→t2−103t+1=0⇔[t=3t=13⇒[x2+x−1=1x2+x−1=−1⇔[x=1;x=−2x=−1;x=0

Do đó T=−2T=−2. Chọn B.

Bài tập 7: Gọi a là nghiệm của phương trình 32−2x−2.32−x−27=032−2x−2.32−x−27=0. Giá trị của A=a2+2aA=a2+2a là: 

A. A=32A=32 hoặc A=94A=94. B. A=32A=32. C. A=−12A=−12.              D. A=12A=12.
Lời giải chi tiết

Ta có: PT⇔32(1−x)−6.31−x−27=0PT⇔32(1−x)−6.31−x−27=0

Đặt t=31−x>0t=31−x>0 khi đó t2−6t−27=0⇔[t=9⇒31−x=9⇔1−x=2⇔x=−1t=−3(loai)t2−6t−27=0⇔[t=9⇒31−x=9⇔1−x=2⇔x=−1t=−3(loai)

Do đó a2+2a=1+12=32a2+2a=1+12=32. Chọn B.

Bài tập 8: Số nghiệm của phương trình 2x2−x−22+x−x2=32x2−x−22+x−x2=3 là: 

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải chi tiết

PT⇔2x2−x−4.2x−x2=3PT⇔2x2−x−4.2x−x2=3. Đặt t=2x2−x>0t=2x2−x>0 khi đó t−4t=3⇔t2−3t−4=0⇔[t=−1(loai)t=4t−4t=3⇔t2−3t−4=0⇔[t=−1(loai)t=4

 
Khi đó x2−x=2⇔[x=−1x=2x2−x=2⇔[x=−1x=2. Chọn B.

Bài tập 9: Số nghiệm của phương trình 27x−32x+1−16=027x−32x+1−16=0 là: 

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải chi tiết

Ta có: PT⇔33x−3.32x−16=0PT⇔33x−3.32x−16=0. Đặt t=3x>0t=3x>0 ta có: t3−3t2−16=0⇔t=4⇒x=log34t3−3t2−16=0⇔t=4⇒x=log34. Chọn A.

Bài tập 10: Số nghiệm của phương trình (3−2√2)x+2(√2−1)x−1=0(3−22)x+2(2−1)x−1=0 là: 

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Lời giải chi tiết

Ta có: 3−2√2=(√2−1)23−22=(2−1)2. Đặt t=(√2−1)x>0t=(2−1)x>0

Khi đó PT⇒t2+2t−1=0⇔⎡⎣t=√2−1=(√2−1)xt=−√2−1<0(loai)⇔x=1PT⇒t2+2t−1=0⇔[t=2−1=(2−1)xt=−2−1<0(loai)⇔x=1. Chọn A.

Bài tập 11: Tích tất cả các nghiệm của phương trình (√2−1)x+(√2+1)x=2√2(2−1)x+(2+1)x=22 

A. P=0P=0. B. P=1P=1. C. P=−1P=−1. D. P=2P=2.
Lời giải chi tiết

Ta có: (√2−1)(√2+1)=1(2−1)(2+1)=1. Do đó PT ⇔(√2+1)−x+(√2+1)x=2√2⇔(2+1)−x+(2+1)x=22

Đặt t=(√2+1)x>0t=(2+1)x>0 khi đó PT⇒1t+t=2√2⇔t2−2t√2+1=0⇔[t=1+√2t=−1+√2PT⇒1t+t=22⇔t2−2t2+1=0⇔[t=1+2t=−1+2

Với t=1+√2⇒x=1t=1+2⇒x=1

Với t=−1+√2⇒x=−1t=−1+2⇒x=−1. Do đó tích các nghiệm của phương trình là P=−1P=−1. Chọn C.

Bài tập 12: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình (√5+1)x+(√5−1)x=2x+1(5+1)x+(5−1)x=2x+1 là 

A. 0. B. 1. C. √55. D. 2√525.
Lời giải chi tiết

Ta có: PT⇔(√5+12)x+(√5−12)x=2PT⇔(5+12)x+(5−12)x=2

Do (√5+12)x.(√5−12)x=1⇒(√5−12)x=(√5+12)−x(5+12)x.(5−12)x=1⇒(5−12)x=(5+12)−x

Đặt t=(√5+12)x(t>0)t=(5+12)x(t>0) ta có: t+1t=2⇔t2−2t+1=0⇔(t−1)2=0⇔t=1t+1t=2⇔t2−2t+1=0⇔(t−1)2=0⇔t=1

Suy ra (√5+12)x=1⇔x=0(5+12)x=1⇔x=0. Chọn A.

Bài tập 13: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 22x2+1−9.2x2+x+22x+2=022x2+1−9.2x2+x+22x+2=0 là 

A. 3232. B. −1−1. C. 2. D. 1.
Lời giải chi tiết

Ta có: 22x2+1−9.2x2+x+22x+2=0⇔2.22x2−9.2x2+x+4.22x=022x2+1−9.2x2+x+22x+2=0⇔2.22x2−9.2x2+x+4.22x=0là

Chia cả 2 vế cho 22x22x ta được: 2.22(x2−x)−9.2x2−x+4=02.22(x2−x)−9.2x2−x+4=0

Đặt t=2x2−xt=2x2−x (t>0)(t>0) ta có: 2t2−9t+4=0⇔[t=4t=12⇔[2x2−x=42x2−x=12⇔[x2−x=2x2−x=1(vn)2t2−9t+4=0⇔[t=4t=12⇔[2x2−x=42x2−x=12⇔[x2−x=2x2−x=1(vn)

⇔x2−x−2=0⇔[x=−1x=2⇒⇔x2−x−2=0⇔[x=−1x=2⇒ Tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 1. Chọn D.

Bài tập 14: Số nghiệm của phương trình 34x+32√x+1+1=4.32x+√x+134x+32x+1+1=4.32x+x+1 là: 

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải chi tiết

ĐK: x≥−1x≥−1. Khi đó PT⇔1+32√x+1−4x=4.3√x+1−2xPT⇔1+32x+1−4x=4.3x+1−2x

Đặt t=3√x+1−2xt=3x+1−2x (t>0)(t>0) ta có: 3t2−4t+1=0⇔[t=1t=133t2−4t+1=0⇔[t=1t=13

Với t=1⇒3√x+1−2x=1⇔√x+1−2x=0⇔{x≥0x+1=4x2⇔x=1+√178t=1⇒3x+1−2x=1⇔x+1−2x=0⇔{x≥0x+1=4x2⇔x=1+178

Với t=13⇒3√x+1−2x=13⇔√x+1−2x=−1⇔{2x−1≥0x+1=(2x−1)2⇔x=54t=13⇒3x+1−2x=13⇔x+1−2x=−1⇔{2x−1≥0x+1=(2x−1)2⇔x=54

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x=1+√178x=1+178; x=54x=54. Chọn C.

Bài tập 15: Giải phương trình: 82x−1+1+2x2x+2=182x−1+21−x+282x−1+1+2x2x+2=182x−1+21−x+2
Lời giải chi tiết

Viết lại phương trình dưới dạng: 82x−1+1+121−x+1=182x−1+21−x+282x−1+1+121−x+1=182x−1+21−x+2

Đặt {u=2x−1+1v=21−x+1,(u,v>1){u=2x−1+1v=21−x+1,(u,v>1)

Ta có u.v=(2x−1+1).(21−x+1)=2x−1+21−x+2=u+vu.v=(2x−1+1).(21−x+1)=2x−1+21−x+2=u+v

Phương trình tương đương với hệ {8u+1v=18u+vu+v=uv⇔{u+8v=18u+v=uv⇔{u=v=2u=9;v=98{8u+1v=18u+vu+v=uv⇔{u+8v=18u+v=uv⇔{u=v=2u=9;v=98

Với u=v=2u=v=2, ta được: {2x−1+1=221−x+1=2⇔x=1{2x−1+1=221−x+1=2⇔x=1

Với u=9;v=98u=9;v=98u=v=2u=v=2, ta được: {2x−1+1=921−x+1=98⇔x=4{2x−1+1=921−x+1=98⇔x=4

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x=1x=1 và x=4x=4.

Bài tập 16: Giải phương trình 22x−√2x+6=622x−2x+6=6
Lời giải chi tiết

Đặt u=2x;u>0u=2x;u>0

Khi đó phương trình trở thành u2−√u+6=6u2−u+6=6

Đặt v=√u+6v=u+6, điều kiện v≥√6⇒v2=u+6v≥6⇒v2=u+6

Khi đó phương trình được chuyển thành hệ

{u2=v+6v2=u+6⇔u2−v2=−(u−v)⇔(u−v)(u+v)=0⇔[u−v=0u+v+1=0{u2=v+6v2=u+6⇔u2−v2=−(u−v)⇔(u−v)(u+v)=0⇔[u−v=0u+v+1=0

Với u=vu=v ta được: u2−u−6=0⇔[u=3u=−2(l)⇔2x=3⇔x=8u2−u−6=0⇔[u=3u=−2(l)⇔2x=3⇔x=8

Với u+v+1=0u+v+1=0 ta được: u2+−5=0⇔⎡⎢⎣u=−1+√212u=−1−√212(l)⇔2x=√21−12⇔x=log2√21−12u2+−5=0⇔[u=−1+212u=−1−212(l)⇔2x=21−12⇔x=log221−12

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x=8x=8 và x=log2√21−12x=log221−12.