Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Ta có $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$.

Ta có $2MA + MB + MC = 2|\vec{MA}| + |\vec{MB}| + |\vec{MC}| = 18$.

$2|\vec{MA}| + |\vec{MB}| + |\vec{MC}| = 2|\vec{MG} + \vec{GA}| + |\vec{MG} + \vec{GB}| + |\vec{MG} + \vec{GC}| = 18$

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

$|\vec{MG} + \vec{GA}| + |\vec{MG} + \vec{GB}| + |\vec{MG} + \vec{GC}| \ge |\vec{MG} + \vec{GA} + \vec{MG} + \vec{GB} + \vec{MG} + \vec{GC}| = |3\vec{MG} + \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}| = |3\vec{MG}| = 3|\vec{MG}|$

Do đó $2|\vec{MA}| + |\vec{MB}| + |\vec{MC}| \ge 3|\vec{MG}|$.

`=>` $18 \ge 3MG \implies MG \le 6$.

Dấu bằng xảy ra khi $\vec{MG}$ cùng hướng với $\vec{GA}, \vec{GB}, \vec{GC}$.

$R_{ABC} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

$OG = \frac{1}{3} R_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$GM = 6$

`=>`Bán kính đường tròn cần tìm là $R = 6$.