Quảng cáo
2 câu trả lời 141
Cta sẽ chứng minh đẳng thức $3 + 8 + 13 + \dots + (5n-7) + (5n-2) = \frac{n(5n+1)}{2}$ vs mọi $n \in \mathbb{N}^*$ (tức là $n$ là số t/nhiên dương).
Dãy số $3, 8, 13, \dots, (5n-7), (5n-2)$ là một dãy số cấp số cộng vs:
Hạng số đầu tiên $a_1 = 3$
Công sai $d = 5$
Tổng của $n$ hạng đầu tiên của 1 cấp số cộng đc tính theo công thức:
$S_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n-1) d \right)$
Thay vào $a_1 = 3$ và $d = 5$ ta có:
$S_n = \frac{n}{2} \left( 2(3) + (n-1) \cdot 5 \right) = \frac{n}{2} \left( 6 + 5n - 5 \right) = \frac{n}{2} (5n + 1)$
Vậy ta đã chứng minh đc:
$S_n = \frac{n(5n+1)}{2}$
Dưới đây là chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp:
Bước 1: Kiểm tra tính đúng với n = 1
Thay n = 1 vào công thức:
3 = 1(5(1) + 1)/2
3 = 3
Công thức đúng với n = 1.
Bước 2: Giả sử công thức đúng với n = k
3 + 8 + 13 + ... + (5k - 7) + (5k - 2) = k(5k + 1)/2
Bước 3: Chứng minh công thức đúng với n = k + 1
Tổng với n = k + 1:
3 + 8 + 13 + ... + (5k - 7) + (5k - 2) + (5(k+1) - 7) + (5(k+1) - 2)
= k(5k + 1)/2 + (5k + 3) + (5k + 3)
= k(5k + 1)/2 + 2(5k + 3)
= (5k^2 + k)/2 + 10k + 6
= (5k^2 + 21k + 12)/2
= (k + 1)(5(k + 1) + 1)/2
Vậy công thức đúng với n = k + 1.
Kết luận
Công thức:
3 + 8 + 13 + ... + (5n - 7) + (5n - 2) = n(5n + 1)/2
đúng với mọi n thuộc ℕ*.
Chứng minh hoàn thành.
Bước 1: Kiểm tra tính đúng với n = 1
Thay n = 1 vào công thức:
3 = 1(5(1) + 1)/2
3 = 3
Công thức đúng với n = 1.
Bước 2: Giả sử công thức đúng với n = k
3 + 8 + 13 + ... + (5k - 7) + (5k - 2) = k(5k + 1)/2
Bước 3: Chứng minh công thức đúng với n = k + 1
Tổng với n = k + 1:
3 + 8 + 13 + ... + (5k - 7) + (5k - 2) + (5(k+1) - 7) + (5(k+1) - 2)
= k(5k + 1)/2 + (5k + 3) + (5k + 3)
= k(5k + 1)/2 + 2(5k + 3)
= (5k^2 + k)/2 + 10k + 6
= (5k^2 + 21k + 12)/2
= (k + 1)(5(k + 1) + 1)/2
Vậy công thức đúng với n = k + 1.
Kết luận
Công thức:
3 + 8 + 13 + ... + (5n - 7) + (5n - 2) = n(5n + 1)/2
đúng với mọi n thuộc ℕ*.
Chứng minh hoàn thành.
Quảng cáo
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
135031 -
Hỏi từ APP VIETJACK
Đã trả lời bởi chuyên gia
76320 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
71863 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
47639
Gửi báo cáo thành công!
