Để tính giới hạn $\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{2x^2 + x} + \sqrt{2} x \right)$, ta sẽ sử dụng một số kỹ thuật đơn giản.

Bước 1: Biến đổi biểu thức
Xét biểu thức $\sqrt{2x^2 + x}$, ta nhận thấy rằng khi $x$ rất lớn (với $x \to -\infty)$, $2x^2$ là phần chính. Ta sẽ tách ra như sau:

$\sqrt{2x^2 + x} = \sqrt{x^2 \left( 2 + \frac{1}{x} \right)} = |x| \sqrt{2 + \frac{1}{x}}$.

Vì $x \to -\infty$, ta có $∣x∣ = -x$, do đó:

$\sqrt{2x^2 + x} = -x \sqrt{2 + \frac{1}{x}}$.

Bước 2: Lấy giới hạn

Khi $x \to -\infty$, $\frac{1}{x} \to 0$, nên $\sqrt{2 + \frac{1}{x}} \to \sqrt{2}$. Do đó:

$\sqrt{2x^2 + x} \approx -x \sqrt{2}$.

Bước 3: Tính giới hạn

Giới hạn của biểu thức ban đầu trở thành:

$\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{2x^2 + x} + \sqrt{2} x \right) = \lim_{x \to -\infty} \left( -x \sqrt{2} + \sqrt{2} x \right).$

Cả hai hạng tử này giống nhau, vì vậy:

$\lim_{x \to -\infty} \left( -x \sqrt{2} + \sqrt{2} x \right) = 0.$

Kết quả

Vậy giới hạn là 0, nghĩa là $a + b = 0$.