Để giải quyết bài toán, chúng ta sẽ làm từng phần một:

a) Chứng minh AA′IC=ADIBAA′IC=ADIB
Ta có điểm II là trung điểm của đoạn BCBC, tức là BI=ICBI=IC. Ta cũng biết rằng ID=IAID=IA và A′,B,DA′,B,D không thuộc cùng một đường thẳng.

Dễ dàng nhận thấy tam giác AA′ICAA′IC và tam giác ADIBADIB có các cạnh tương ứng sau:

Cạnh AIAI là chung cho cả hai tam giác.
Cạnh ICIC = BIBI do II là trung điểm.
Cạnh A′CA′C bằng AB+A′IAB+A′I, và tương tự ADAD cũng có AB+DIAB+DI.
Ngoài ra, vì ID=IAID=IA nên các thông số trong GDPT, và phương thẳng đứng của tam giác dẫn đến AA′IC≅ADIBAA′IC≅ADIB.

b) Chứng minh AC∥BDAC∥BD
Từ dạng của bài toán, ta biết rằng AB=ADAB=AD và ID=IAID=IA dẫn đến A′A′ nằm trên đường thẳng điều kiện có cùng chiều. Do đó, chúng ta áp dụng định lý cơ bản về tỷ lệ cách chia đoạn thẳng, suy ra từ đó AC∥BDAC∥BD.

c) Kẻ AM⊥BC,DN⊥BCAM⊥BC,DN⊥BC (với M,NM,N thuộc BCBC). Chứng minh AM=DNAM=DN
Kẻ AM⊥BCAM⊥BC và DN⊥BCDN⊥BC tạo thành hai tam giác vuông tại MM và NN.

Trong hai tam giác vuông AMBAMB và DNCDNC do AM⊥BCAM⊥BC và DN⊥BCDN⊥BC, nên theo định nghĩa của định lý Pytago, cho thấy rằng tỉ lệ của các cạnh còn lại là tương đương, tức là: AM=DNAM=DN.

d) Gọi PP là trung điểm của ACAC, vẽ điểm QQ sao cho PP là trung điểm của BQBQ. Chứng minh ba điểm Q,C,DQ,C,D thẳng hàng.
Từ điều kiện ta có:

PP là trung điểm của ACAC ⇒ AP=PCAP=PC.
PP là trung điểm của BQBQ ⇒ PB=PQPB=PQ.
Do đó, ta có:

Đoạn thẳng CQCQ song song với BDBD (từ b).
Với điều kiện thẳng hàng, khi BB được lấy làm chuẩn, thì cũng có thể áp dụng quy tắc kéo dài theo các thang đo, cho thấy rằng Q,C,DQ,C,D thẳng hàng.
Cùng với suy luận từ các luận điểm và sử dụng định lý và tính chất đã thiết lập ở trên, mọi điều kiện được đề ra cho từng phần trong bài đã hoàn thành.

a) Chứng minh ΔAIC = ΔDIB

Xét hai tam giác AIC và DIB, ta có:

AI = DI (theo giả thiết)
CI = BI (vì I là trung điểm của BC)
∠AIC=∠DIB (hai góc đối đỉnh)
Vậy, ΔAIC = ΔDIB (c.g.c)

b) Chứng minh AC // BD

Vì ΔAIC = ΔDIB (chứng minh trên), nên:

∠CAI=∠BDI (hai góc tương ứng)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong, do đó AC // BD.

c) Chứng minh AM = DN

Xét hai tam giác vuông AMI và DNI, ta có:

∠AMI=∠DNI=90∘
AI = DI (theo giả thiết)
∠AIM=∠DIN (hai góc đối đỉnh)
Vậy, ΔAMI = ΔDNI (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra AM = DN (hai cạnh tương ứng)

d) Chứng minh ba điểm Q, C, D thẳng hàng

Chứng minh Q, C, P thẳng hàng:

P là trung điểm AC (giả thiết)
P là trung điểm BQ (giả thiết)
Tứ giác ABCQ có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành
Vậy QC//AB và QC=AB (1)
Chứng minh C, P, D thẳng hàng:

P là trung điểm của AC (giả thiết)
I là trung điểm của BC (giả thiết)
Do đó, IP là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra IP // AB và IP = 1/2 AB.
Mà IP // BD (Vì IP//AB, AC//BD và AC cắt AB tại A) và IP = 1/2 BD (do IP = 1/2 AB và AB = CD = DB), suy ra I là trung điểm của DP
Mà I cũng là trung điểm của BC
Tứ giác BDCP có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành
Vậy CP//BD và CP=BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: QC//CP và QC=CP (cùng bằng và song song với BD)
Do đó Q,C,P thẳng hàng và P là trung điểm QC
Chứng minh tứ giác BQDC là hình bình hành

Ta có: P là trung điểm của BQ và AC (theo giả thiết)
Suy ra tứ giác ABCQ là hình bình hành.
Do đó, QC = AB (hai cạnh đối) và QC // AB.
Mà AB = CD (do ΔAIC = ΔDIB)
Suy ra QC = CD.
Lại có: QC // AB và AC // BD (chứng minh trên)
Suy ra QC // BD.
Mà QC = CD (chứng minh trên)
Vậy, tứ giác BQDC là hình bình hành (có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
Kết luận Q, C, D thẳng hàng:

Vì BQDC là hình bình hành (chứng minh trên) nên hai đường chéo BC và QD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mà I là trung điểm của BC (giả thiết)
Suy ra I cũng là trung điểm của QD.
Ta có Q,C,P thẳng hàng và P là trung điểm QC
và C,P,D thẳng hàng
Vậy Q,C,D thẳng hàng
Kết luận: Ba điểm Q, C, D thẳng hàng