a/Xét tứ giác AMCN, ta có:

AM // CN (do AB // CD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD)
AM = CN (do AM = 1/2 AB, CN = 1/2 CD và AB = CD)
Vậy tứ giác AMCN là hình bình hành (do có hai cạnh đối song song và bằng nhau).
Lại có: AB = 2BC => AB/2 = BC => AM = BC
Mà BC = AN (do ABCD là HCN) => AM = AN
Hình bình hành AMCN có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi.
Mặt khác, góc A = 90 độ (do ABCD là HCN)
Hình thoi AMCN có một góc vuông nên là hình vuông.
Kết luận: Tứ giác AMCN là hình vuông.

b) CM: AMND là hình vuông

Xét tứ giác AMND, ta có:

AM // DN (do AB // CD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD)
AM = DN (do AM = 1/2 AB, DN = 1/2 CD và AB = CD)
Vậy tứ giác AMND là hình bình hành (do có hai cạnh đối song song và bằng nhau).
Ta có: AM = 1/2 AB (M là trung điểm AB) AD = BC (ABCD là HCN) AB = 2BC (giả thiết) => AM = AD
Hình bình hành AMND có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi.
Mặt khác, góc A = 90 độ (do ABCD là HCN)
Hình thoi AMND có một góc vuông nên là hình vuông.
Kết luận: AMND là hình vuông.

c) Gọi I trung điểm MN, chứng minh ba điểm B,I,D thẳng hàng.

Ta có: AMND là hình vuông (câu b) => MN và AD là hai đường chéo của hình vuông, cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà I là trung điểm của MN (giả thiết) => I cũng là trung điểm của AD
Ta lại có: ABCD là hình chữ nhật => Hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. => Gọi O là giao điểm của AC và BD => O là trung điểm của AC và BD
Xét tam giác ABD có:I là trung điểm AD
O là trung điểm BD => IO là đường trung bình của tam giác ABD => IO // AB
Tương tự, ta chứng minh được:I là trung điểm MN
O là trung điểm AC => IO là đường trung bình của tam giác MNC => IO // MC Mà MC // AB (do AB//CD) => IO // AB
Qua I, ta kẻ được hai đường thẳng là IB và ID cùng song song với AB (đã chứng minh ở trên) => Theo tiên đề Euclid, hai đường thẳng IB và ID phải trùng nhau. => Ba điểm B, I, D thẳng hàng.
Kết luận: B, I, D thẳng hàng