Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a
Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật:

Ta có: ∠DAE = 90° (vì tam giác ABC vuông tại A)
∠ADH = 90° (vì HD vuông góc AB)
∠AEH = 90° (vì HE vuông góc AC)
Tứ giác ADHE có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
Chứng minh AB.AC = AH.BC:

Tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: AB² = BH.BC và AC² = CH.BC
Diện tích tam giác ABC có thể tính theo hai cách:
SₐᵦC = 1/2 AB.AC
SₐᵦC = 1/2 AH.BC
Do đó: AB.AC = AH.BC
b
Tứ giác DHPE là hình gì? Vì sao?

Tứ giác ADHE là hình chữ nhật (đã chứng minh ở câu a) nên AE = DH
P là điểm đối xứng của A qua E nên AE = EP
Suy ra: DH = EP
Ta lại có: DH // EP (cùng vuông góc với AB)

Tứ giác DHPE có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.

=> DH⊥HE nên DHPE là hình chữ nhật

c/

Chứng minh xy, BC, DE đồng quy:

Gọi O là giao điểm của AH và DE. Do ADHE là hình chữ nhật nên O là trung điểm của AH và DE

Gọi K là giao điểm của xy và BC

Gọi I là giao điểm của MV và BC

chứng minh K trùng với I

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AHM với cát tuyến DE ta có:

DA/DH.OH/OA.EM/EM=1

Vì ADHE là hình chữ nhật và O là trung điểm của AH nên OA=OH =>

DA/DH=1 hay DA=DH

Ta có:

∠ADH=90 độ

∠DAH+∠DHA=90∘ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

∠DAH=∠ABC (cùng phụ với ∠ACB)

Do đó tam giác ADH cân tại D. Suy ra ∠DAH=∠DHA.

Mặt khác, ∠ABC+∠ACB=90∘ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

suy ra ∠DAH+∠ACB=90∘ hay ∠DHA+∠ACB=90∘

Ta có: ∠DHE=90∘ (do ADHE là hình chữ nhật)

∠DHA+∠AHE=90∘

Suy ra ∠AHE=∠ACB.

Xét hai tam giác AHE và CAB có:

∠AHE=∠ACB

∠HAE=∠BAC=90∘

Suy ra hai tam giác AHE và CAB đồng dạng.

Do đó BC/AH=AB/AE=AC/HE

Xét tam giác AMV và tam giác KAV có:

∠MAV=∠AKV=90∘

∠AMV=∠KAV (do cùng phụ với ∠KVA)

Suy ra hai tam giác AMV và KAV đồng dạng.

Do đó KA/AM=KV/AV=AV/MV

Tam giác ABC vuông tại A, AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AM=1/2bc=BM=MC

Tam giác AHE vuông tại H nên AE²AH^2+HE^2

Tam giác ABC vuông tại A nên BC^2=ab^2+ac^2

Ma AH / BC = AE / AB nen AH^2 / BC^2 = AE^2 / AB^2 = HP^2 + HE^2 / AB^2 + AC^2 = AB^2 / BC^2

Suy ra AH / AE. Do do tam giac AHE vuong can tai H.

Suy ra / LAHE = / LAEH = 45°.

Ma / LAHE = / LACB nen / LACB = 45°.

Do do tam giac ABC vuong can tai A. Suy ra AB / AC va AM = 1 / $\sqrt{2}$ BC

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến KI ta có:

KA / KB . IB / IC . MC / MA = 1

Do M là trung điểm BC và tam giác ABC vuông cân tại A nên MA / MB / MC.
Suy ra KA / KB = 1 hay KA / KB = IC / IB.
Ta có AM / BM = 1 (do M là trung điểm BC)
Suy ra IC = 1 hay IC = IB. Do đó I là trung điểm BC.

Ma O là trung điểm AH nên OI là đường trung bình tam giác AHC.
Do đó OI / AC hay OI / AE.
Ta có KO / AE = OI / AC (do OI là đường trung bình tam giác AHC)
AE = 1 / AC (do tam giác ABC vuông cân tại A)
Suy ra OI = AE. Do đó KO / KA = 1 hay KO = KA.

Ma KO + KA = OA nên 2KO = OA hay KO = 1 / 2 OA.

Mặt khác, O là trung điểm AH nên OA = 1 / 2 AH.
Suy ra KO = 1 / 2 AH.

Do KO = 1 / 2 AH và AO = 1 / 2 AH nên KO = 1 / 4 AH.
Ma AO = 1 / 2 AH nên KO = 1 / 4 AH.

Do KO = 1 / 4 AH và AH = 1 / 2 BC nên KO = 1 / 4 BC.

Ma KI = 1 / 4 BC nên KO = 1 / 4 KI.

Do KO = 1 / 4 KI va KO = 1 / 2 AH nên 5KI = 1 / 2 AH hay KI = 1 / 2 BC.

Ma AH = 1 / 2 BC nên KI = 1 / 2 BC.

Do KI = 1 / 2 BC và I là trung điểm BC nên K trùng với I

=> Vậy xy, BC, DE đồng quy tại I

...Xem thêm

Answer 2