Để đạt sản lượng tôm thu hoạch lớn nhất, vụ tới ông Thanh phải thả khoảng \(76,67 \text{ kg}\) tôm giống (chính xác là \(\frac{230}{3} \text{ kg}\)).
Dưới đây là các bước giải chi tiết bài toán tối ưu hóa này bằng cách lập hàm số bậc hai:

1. Phân tích số liệu ban đầu
Diện tích ao nuôi của gia đình ông Thanh là \(100 \text{ m}^2\).
Tổng khối lượng tôm giống vụ vừa qua là: \(100 \times 1 = 100 \text{ kg}\).
Sản lượng tôm khi thu hoạch ban đầu thu được là: \(2 \text{ tấn} = 2000 \text{ kg}\).
Do đó, sản lượng thu hoạch bình quân trên \(1 \text{ kg}\) tôm giống ban đầu là: \(2000 : 100 = 20 \text{ kg}\). [1, 2]

2. Thiết lập hệ số tỉ lệ
Gọi \(x\) (kg) là tổng khối lượng tôm giống giảm đi trong vụ tới (\(0 < x < 100\)).
Khi đó, tổng khối lượng tôm giống cần thả sẽ là: \(100 - x\) (kg).
Theo đề bài, nếu mật độ thả giảm đi \(200 \text{ g/m}^2 = 0,2 \text{ kg/m}^2\) (tương đương tổng khối lượng giống giảm đi \(0,2 \times 100 = 20 \text{ kg}\), tức là \(x = 20\)), thì tổng sản lượng đạt \(2,2 \text{ tấn} = 2200 \text{ kg}\).
Lúc này, sản lượng thu hoạch bình quân trên \(1 \text{ kg}\) tôm giống là: \(2200 : (100 - 20) = 27,5 \text{ kg}\).
Giả sử sản lượng thu hoạch trên \(1 \text{ kg}\) tôm giống tăng tuyến tính với lượng giống giảm đi theo hàm số: \(20 + ax\) (kg).
Thay \(x = 20\) vào hàm số, ta có phương trình:
\(20+a\times 20=27,5\implies 20a=7,5\implies a=0,375\) [1]

3. Lập hàm tổng sản lượng
Với lượng tôm giống giảm đi là \(x\), tổng sản lượng tôm thu hoạch được biểu diễn bằng hàm số \(Y(x)\) như sau:
\(Y(x)=(100-x)(20+0,375x)\)
Khai triển và rút gọn hàm số bậc hai:
\(Y(x)=2000+37,5x-20x-0,375x^{2}=-0,375x^{2}+17,5x+2000\)

4. Tìm giá trị lớn nhất
Hàm số \(Y(x) = -0,375x^2 + 17,5x + 2000\) là một hàm số bậc hai có hệ số trước \(x^{2}\) là âm (\(-0,375 < 0\)), nên đồ thị là một parabol có bề lõm quay xuống dưới và đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh.
Tọa độ đỉnh của parabol đạt được tại:
\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{17,5}{2\times (-0,375)}=\frac{17,5}{0,75}=\frac{70}{3}\approx 23,33\text{\ kg}\)
Khối lượng tôm giống tối ưu ông Thanh cần thả cho vụ tới là:
\(100-x=100-\frac{70}{3}=\frac{230}{3}\approx 76,67\text{\ kg}\)

✅ Kết luận
Vụ tới ông Thanh phải thả chính xác \(\frac{230}{3} \text{ kg}\) tôm giống (xấp xỉ \(76,67 \text{ kg}\)) để đạt sản lượng tôm thu hoạch là lớn nhất.

Để đạt sản lượng tôm thu hoạch lớn nhất, vụ tới ông Thanh phải thả khoảng \(76,67 \text{ kg}\) tôm giống (chính xác là \(\frac{230}{3} \text{ kg}\)).
Dưới đây là các bước giải chi tiết bài toán tối ưu hóa này bằng cách lập hàm số bậc hai:

1. Phân tích số liệu ban đầu
Diện tích ao nuôi của gia đình ông Thanh là \(100 \text{ m}^2\).
Tổng khối lượng tôm giống vụ vừa qua là: \(100 \times 1 = 100 \text{ kg}\).
Sản lượng tôm khi thu hoạch ban đầu thu được là: \(2 \text{ tấn} = 2000 \text{ kg}\).
Do đó, sản lượng thu hoạch bình quân trên \(1 \text{ kg}\) tôm giống ban đầu là: \(2000 : 100 = 20 \text{ kg}\). [1, 2]

2. Thiết lập hệ số tỉ lệ
Gọi \(x\) (kg) là tổng khối lượng tôm giống giảm đi trong vụ tới (\(0 < x < 100\)).
Khi đó, tổng khối lượng tôm giống cần thả sẽ là: \(100 - x\) (kg).
Theo đề bài, nếu mật độ thả giảm đi \(200 \text{ g/m}^2 = 0,2 \text{ kg/m}^2\) (tương đương tổng khối lượng giống giảm đi \(0,2 \times 100 = 20 \text{ kg}\), tức là \(x = 20\)), thì tổng sản lượng đạt \(2,2 \text{ tấn} = 2200 \text{ kg}\).
Lúc này, sản lượng thu hoạch bình quân trên \(1 \text{ kg}\) tôm giống là: \(2200 : (100 - 20) = 27,5 \text{ kg}\).
Giả sử sản lượng thu hoạch trên \(1 \text{ kg}\) tôm giống tăng tuyến tính với lượng giống giảm đi theo hàm số: \(20 + ax\) (kg).
Thay \(x = 20\) vào hàm số, ta có phương trình:
\(20+a\times 20=27,5\implies 20a=7,5\implies a=0,375\) [1]

3. Lập hàm tổng sản lượng
Với lượng tôm giống giảm đi là \(x\), tổng sản lượng tôm thu hoạch được biểu diễn bằng hàm số \(Y(x)\) như sau:
\(Y(x)=(100-x)(20+0,375x)\)
Khai triển và rút gọn hàm số bậc hai:
\(Y(x)=2000+37,5x-20x-0,375x^{2}=-0,375x^{2}+17,5x+2000\)

4. Tìm giá trị lớn nhất
Hàm số \(Y(x) = -0,375x^2 + 17,5x + 2000\) là một hàm số bậc hai có hệ số trước \(x^{2}\) là âm (\(-0,375 < 0\)), nên đồ thị là một parabol có bề lõm quay xuống dưới và đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh.
Tọa độ đỉnh của parabol đạt được tại:
\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{17,5}{2\times (-0,375)}=\frac{17,5}{0,75}=\frac{70}{3}\approx 23,33\text{\ kg}\)
Khối lượng tôm giống tối ưu ông Thanh cần thả cho vụ tới là:
\(100-x=100-\frac{70}{3}=\frac{230}{3}\approx 76,67\text{\ kg}\)

✅ Kết luận
Vụ tới ông Thanh phải thả chính xác \(\frac{230}{3} \text{ kg}\) tôm giống (xấp xỉ \(76,67 \text{ kg}\)) để đạt sản lượng tôm thu hoạch là lớn nhất.