Để giải bài toán này, bạn cần kết hợp cả quy tắc cộng và quy tắc nhân để tính xác suất. Dưới đây là các bước chi tiết:

### Bước 1: Xác định các cặp đấu trong vòng bán kết

Có 3 cách chia cặp cho 4 vận động viên:
1. Azar vs. Carl và Jon vs. Sergey
2. Azar vs. Jon và Carl vs. Sergey
3. Azar vs. Sergey và Carl vs. Jon

### Bước 2: Tính xác suất cho từng trường hợp

#### Trường hợp 1: Azar vs. Carl và Jon vs. Sergey

- Xác suất Azar thắng Carl: $\frac{2}{3}$
- Xác suất Carl thắng Azar: $\frac{1}{3}$

Nếu Azar thắng:
- Azar vào chung kết với xác suất: $\frac{2}{3}$
- Người thắng trong trận Jon vs. Sergey sẽ gặp Azar. Xác suất Azar thắng người đó là: $\frac{3}{4}$

Nếu Carl thắng:
- Carl vào chung kết với xác suất: $\frac{1}{3}$
- Người thắng trong trận Jon vs. Sergey sẽ gặp Carl. Xác suất Carl thắng người đó là: $\frac{3}{4}$

Tính xác suất Carl vô địch trong trường hợp này:
$\text{Xác suất Carl thắng} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

#### Trường hợp 2: Azar vs. Jon và Carl vs. Sergey

- Xác suất Azar thắng Jon: $\frac{3}{4}$
- Xác suất Jon thắng Azar: $\frac{1}{4}$
- Xác suất Carl thắng Sergey: $\frac{3}{4}$
- Xác suất Sergey thắng Carl: $\frac{1}{4}$

Nếu Azar thắng Jon:
- Azar vào chung kết với xác suất: $\frac{3}{4}$
- Người thắng trong trận Carl vs. Sergey sẽ gặp Azar. Xác suất Azar thắng người đó là: $\frac{3}{4}$

Nếu Carl thắng Sergey:
- Carl vào chung kết với xác suất: $\frac{3}{4}$
- Người thắng trong trận Azar vs. Jon sẽ gặp Carl. Xác suất Carl thắng người đó là: $\frac{1}{4}$

Tính xác suất Carl vô địch trong trường hợp này:
$\text{Xác suất Carl thắng} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$

#### Trường hợp 3: Azar vs. Sergey và Carl vs. Jon

- Xác suất Azar thắng Sergey: $\frac{3}{4}$
- Xác suất Sergey thắng Azar: $\frac{1}{4}$
- Xác suất Carl thắng Jon: $\frac{3}{4}$
- Xác suất Jon thắng Carl: $\frac{1}{4}$

Nếu Azar thắng Sergey:
- Azar vào chung kết với xác suất: $\frac{3}{4}$
- Người thắng trong trận Carl vs. Jon sẽ gặp Azar. Xác suất Azar thắng người đó là: $\frac{3}{4}$

Nếu Carl thắng Jon:
- Carl vào chung kết với xác suất: $\frac{3}{4}$
- Người thắng trong trận Azar vs. Sergey sẽ gặp Carl. Xác suất Carl thắng người đó là: $\frac{1}{4}$

Tính xác suất Carl vô địch trong trường hợp này:
$\text{Xác suất Carl thắng} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$

### Bước 3: Tổng hợp các xác suất

Tổng xác suất Carl vô địch qua 3 trường hợp:
$P_{Carl} = \frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{3}{16} = \frac{4}{16} + \frac{3}{16} + \frac{3}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$

Ở đây, $p = 5$ và $q = 8$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

### Kết quả:
$p + q = 5 + 8 = 13$

Hy vọng điều này giúp ích cho bạn! Nếu bạn có thêm câu hỏi nào, hãy cho mình biết nhé! 😊📚✨