Câu 1: Chứng minh ( a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) )
Chúng ta sẽ bắt đầu từ công thức khai triển của ( (a + b)^3 ):

[ (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) ]

Từ công thức trên, ta có thể suy ra:

[ a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) ]

Như vậy, ta đã chứng minh được:

[ a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) ]

Áp dụng
Giả sử ( a + b = 4 ) và ( ab = 3 ), ta sẽ tính ( a^3 + b^3 ):

Tính ( (a + b)^3 ):
[ (a + b)^3 = 4^3 = 64 ]

Tính ( 3ab(a + b) ):
[ 3ab(a + b) = 3 \cdot 3 \cdot 4 = 36 ]

Thay vào công thức:
[ a^3 + b^3 = 64 - 36 = 28 ]

Vậy ( a^3 + b^3 = 28 ).

Câu 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ( n ), ( (n+2)^2 - n^2 ) chia hết cho 4.
Ta có:

[ (n + 2)^2 - n^2 = (n^2 + 4n + 4) - n^2 = 4n + 4 ]

Ta có thể viết lại:

[ 4n + 4 = 4(n + 1) ]

Số ( 4(n + 1) ) rõ ràng chia hết cho 4 với mọi số tự nhiên ( n ).

Vậy, ( (n + 2)^2 - n^2 ) chia hết cho 4.

Câu 3: Tìm số nguyên ( x, y ) biết ( x^2 + y^2 + 4(x+y) + 8 = 0 ).
Ta có thể viết lại phương trình:

[ x^2 + y^2 + 4x + 4y + 8 = 0 ]

Nhóm các hạng tử lại:

[ x^2 + 4x + y^2 + 4y + 8 = 0 ]

Ta sẽ hoàn thành bình phương cho ( x ) và ( y ):

[ (x^2 + 4x + 4) + (y^2 + 4y + 4) + 8 - 8 = 0 ]

Ta có:

[ (x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 0 ]

Vì ( (x + 2)^2 ) và ( (y + 2)^2 ) đều là bình phương, nên chúng chỉ bằng 0 khi:

 x + 2 = 0 ; y + 2 = 0 

Suy ra:

 x = -2 ; y = -2 

Vậy, cặp số nguyên ( (x, y) = (-2, -2) ).

Ta có hằng đẳng thức lập phương của một tổng:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Trừ đi 3ab(a + b) ở cả hai vế:

(a + b)³ – 3ab(a + b) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – 3ab(a + b)

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – 3a²b – 3ab²

= a³ + b³

Vậy, a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b).

Áp dụng:

Với a + b = 4 và ab = 3, ta có:

a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

= 4³ – 3 × 3 × 4

= 64 – 36

= 28

Vậy, a³ + b³ = 28.

Câu 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có: (n + 2)² – n² chia hết cho 4.

Ta có:

(n + 2)² – n² = (n² + 4n + 4) – n²

= 4n + 4

= 4(n + 1)

Vì 4(n + 1) là bội của 4, nên (n + 2)² – n² chia hết cho 4 với mọi số tự nhiên n.

Câu 3: Tìm số nguyên x, y biết: x² + y² + 4(x + y) + 8 = 0.

Ta biến đổi phương trình:

x² + y² + 4x + 4y + 8 = 0

(x² + 4x + 4) + (y² + 4y + 4) = 0

(x + 2)² + (y + 2)² = 0

Vì bình phương của một số luôn không âm, tổng của hai số không âm chỉ bằng 0 khi cả hai số đều bằng 0.

Do đó:

(x + 2)² = 0 ⇒ x + 2 = 0 ⇒ x = -2

(y + 2)² = 0 ⇒ y + 2 = 0 ⇒ y = -2

Vậy, cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn là (-2, -2)