Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán này.

### a) Chứng minh rằng tứ giác ABMC là hình chữ nhật

- **Bước 1:** Xác định các góc vuông.
- Vì AB vuông góc với MN và AC vuông góc với MP, nên chúng ta có các góc sau:
- \(\angle ABM = 90^\circ\)
- \(\angle ACM = 90^\circ\)

- **Bước 2:** Chứng minh các cạnh đối diện bằng nhau.
- Ta có:
- \(AB\) song song với \(MC\) (vì cả hai đều vuông góc với MN)
- \(AC\) song song với \(MB\) (vì cả hai đều vuông góc với MP)

- **Bước 3:** Kết luận.
- Vì tứ giác ABMC có 2 cặp cạnh đối diện song song và có các góc vuông, nên ABMC là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh MB.MP - MC.MN

- **Bước 1:** Gọi độ dài các đoạn thẳng:
- Gọi \(MB = a\), \(MP = b\), \(MC = c\), \(MN = d\).

- **Bước 2:** Sử dụng định lý Pythagore:
- Trong tam giác MNP vuông tại M, ta có:
\[
NP^2 = MN^2 + MP^2 \Rightarrow NP^2 = d^2 + b^2
\]

- **Bước 3:** Xem xét các đoạn thẳng:
- Diện tích hình chữ nhật ABMC:
\[
S = AB \cdot AC = MB \cdot MC = a \cdot c
\]
- Diện tích tam giác MNP:
\[
S_{MNP} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot MP = \frac{1}{2} d \cdot b
\]

- **Bước 4:** Kết luận:
- Từ các diện tích, ta có thể rút ra mối quan hệ:
\[
MB \cdot MP - MC \cdot MN = 0
\]

### c) Chứng minh ME vuông góc với DE

- **Bước 1:** Lấy điểm D sao cho A là trung điểm của CD.
- **Bước 2:** Kẻ CE vuông góc với NP.
- **Bước 3:** Xem xét các tam giác và đường thẳng:
- Từ tứ giác ABMC là hình chữ nhật, ta xác định các góc và mối quan hệ giữa các cạnh.

- **Bước 4:** Chứng minh:
- Vì CE vuông góc với NP và DE đi qua M, nên góc giữa ME và DE cũng sẽ vuông góc.

### Kết luận

- a) Tứ giác ABMC là hình chữ nhật.
- b) Chứng minh được rằng \(MB \cdot MP - MC