Để giải bài toán, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng yêu cầu.

### 1. Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

Để chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh hai cạnh đối của nó song song với nhau và có chiều dài bằng nhau.

- Từ định nghĩa, khi \( E \) là hình chiếu của \( H \) lên \( AB \) thì \( HE \) vuông góc với \( AB \).
- Tương tự, khi \( F \) là hình chiếu của \( H \) lên \( AC \) thì \( HF \) vuông góc với \( AC \).

Vì tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), \( AH \) là đường cao, ta có:
- \( AH \perp AB \)
- \( AH \perp AC \)

Vì vậy, ta có:
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \), điều này có nghĩa là \( AH \parallel EF \).
- Tương tự, chúng ta thấy rằng \( AE \parallel HF \).

Như vậy, AEHF có hai cặp cạnh đối song song và vuông góc với nhau, điều này chứng minh rằng tứ giác \( AEHF \) là hình chữ nhật.

### 2. Gọi \( I \) là trung điểm của \( HC \). Trên tia \( AI \) lấy điểm \( M \) sao cho \( IM = IA \). Chứng minh tứ giác \( AHCM \) là hình bình hành và \( MH \perp AB \).

Để chứng minh tứ giác \( AHCM \) là hình bình hành:
- Đầu tiên, từ tính chất của điểm \( I \), ta có:
\[
IH = IC
\]
- Bây giờ, vì \( IM = IA \) và \( I \) là trung điểm của \( HC \), nên:
\[
AC = AH + HC = AH + IH
\]
Và do \( MH = IM + AH \), chúng ta có:
- \( AM \parallel HC \) và \( AH \parallel CM \).

Như vậy, \( AHCM \) là một hình bình hành vì hai cặp cạnh đối song song và có độ dài bằng nhau.

Tiếp theo, để chứng minh \( MH \perp AB \):
- Vì \( AH \perp AB \) và \( IM = IA \) là khoảng cách bằng nhau từ \( H \) đến \( A \) và từ \( I \) đến \( A \), nên \( MH \) cũng vuông góc với \( AB \).

### 3. Qua \( M \) kẻ đường thẳng vuông góc với \( AH \), đường thẳng này cắt đường thẳng \( AB \) tại \( D \). Gọi \( K \) là giao điểm của \( DH \) và \( AM \). Chứng minh \( KE \perp KF \).

Ta đã biết rằng \( AM \perp AH \) và \( DH \) là một đường thẳng đi qua \( H \) và \( D \):
- Khi đó, vì \( M \) được chọn sao cho \( MH \perp AB \), nên \( AM \) vuông góc với \( AH \), và từ đó kéo dài đến điểm \( D \).
- Khi \( K \) là giao điểm của \( DH \) và \( AM \), ta có:
\[
\angle KED = 90^\circ
\]

Vì \( E \) và \( F \) lần lượt là hình chiếu của các điểm trên các cạnh vuông góc, do đó \( KE \perp KF \).

Tóm lại, ta đã chứng minh các tính chất yêu cầu trong bài toán và sử dụng các đặc tính hình học của tam giác vuông và hình chữ nhật.