Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) với điều kiện \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \) và

\[
P = |9x^2 - 10y^2| + |9y^2 - 10z^2| + |9z^2 - 10x^2| + 2024.
\]

Trường hợp \( x^2 = y^2 = z^2 \)

Giả sử \( x^2 = y^2 = z^2 \). Từ điều kiện \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \), ta có:

\[
3x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{1}{3}.
\]

Do đó, \( x^2 = y^2 = z^2 = \frac{1}{3} \). Thay vào biểu thức \( P \), ta có:

\[
P = |9x^2 - 10y^2| + |9y^2 - 10z^2| + |9z^2 - 10x^2| + 2024.
\]

Vì \( x^2 = y^2 = z^2 = \frac{1}{3} \), ta tính:

\[
9x^2 - 10y^2 = 9 \times \frac{1}{3} - 10 \times \frac{1}{3} = 3 - \frac{10}{3} = \frac{9}{3} - \frac{10}{3} = -\frac{1}{3}.
\]

Do đó:

\[
|9x^2 - 10y^2| = \left| -\frac{1}{3} \right| = \frac{1}{3}.
\]

Vì biểu thức này là đối xứng, ta có:

\[
|9y^2 - 10z^2| = |9z^2 - 10x^2| = \frac{1}{3}.
\]

Vậy \( P \) trở thành:

\[
P = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + 2024 = 1 + 2024 = 2025.
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( \boxed{2025} \).

...Xem thêm

Answer 2

Chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) với điều kiện \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \) và

\[
P = |9x^2 - 10y^2| + |9y^2 - 10z^2| + |9z^2 - 10x^2| + 2024.
\]

Trường hợp \( x^2 = y^2 = z^2 \)

Giả sử \( x^2 = y^2 = z^2 \). Từ điều kiện \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \), ta có:

\[
3x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{1}{3}.
\]

Do đó, \( x^2 = y^2 = z^2 = \frac{1}{3} \). Thay vào biểu thức \( P \), ta có:

\[
P = |9x^2 - 10y^2| + |9y^2 - 10z^2| + |9z^2 - 10x^2| + 2024.
\]

Vì \( x^2 = y^2 = z^2 = \frac{1}{3} \), ta tính:

\[
9x^2 - 10y^2 = 9 \times \frac{1}{3} - 10 \times \frac{1}{3} = 3 - \frac{10}{3} = \frac{9}{3} - \frac{10}{3} = -\frac{1}{3}.
\]

Do đó:

\[
|9x^2 - 10y^2| = \left| -\frac{1}{3} \right| = \frac{1}{3}.
\]

Vì biểu thức này là đối xứng, ta có:

\[
|9y^2 - 10z^2| = |9z^2 - 10x^2| = \frac{1}{3}.
\]

Vậy \( P \) trở thành:

\[
P = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + 2024 = 1 + 2024 = 2025.
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( \boxed{2025} \).

Answer 3

Đặt ẩn phụ:

a = x², b = y², c = z² với điều kiện a + b + c = 1

P = |9a - 10b| + |9b - 10c| + |9c - 10a| + 2024

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các phần tử:

tìm giá trị nhỏ nhất của P ta cần xét các tp có thể xảy ra cho a, b, c sao cho tổng a + b + c = 1. Khi tối thiểu hóa từng thành phần tuyệt đối, ta cần xét các đk sau

|9a - 10b| = 0, tức là 9a = 10b
|9b - 10c| = 0, tức là 9b = 10c
|9c - 10a| = 0, tức là 9c = 10a
Từ các phương trình trên, ta suy ra: a/10 = b/9, b/10 = c/9, c/10 = a/9

phương trình:

Từ các tỉ lệ trên, ta giả sử: a = 10/29, b = 9/29, c = 0 (hoặc các hoán vị của a, b, c)

Với |9a - 10b| + |9b - 10c| + |9c - 10a| = 0, khi đó: P = 0 + 2024 = 2024

2 câu trả lời 107

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 7