Chứng minh A=n(n+1)(n+2)(n+3) không là số chính phương với mọi số tự nhiên n khá

Te Cu Hỏi từ APP VIETJACK

đã hỏi trong Lớp 8 Toán học

· 23:23 05/12/2024

Chứng minh A=n(n+1)(n+2)(n+3) không là số chính phương với mọi số tự nhiên n khác 0

Lưu câu hỏi Lưu

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

1 năm trước

Ta có $A = n(n+1)(n+2)(n+3)$.

Nếu $n=1$, $A = 1.2.3.4 = 24$, không là số chính phương.

Nếu $n=2$, $A = 2.3.4.5 = 120$, không là số chính phương.

Giả sử $A$ là số chính phương.

Khi đó $A = k^2$ với $k \in \mathbb{N}^*$.

Ta có $A = n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+3)][(n+1)(n+2)] = (n^2+3n)(n^2+3n+2)$.

Đặt $x = n^2+3n$. Khi đó $A = x(x+2) = x^2+2x = k^2$.

$x^2 < x^2+2x < (x+2)^2 = x^2+4x+4$ với $x>0$.

Nếu $x^2+2x = (x+1)^2 = x^2+2x+1$, thì $1=0$, vô lý.

Vậy $x^2 < k^2 < (x+2)^2$, không thể là số chính phương.

Ta có $A = n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+3)][(n+1)(n+2)] = (n^2+3n)(n^2+3n+2)$.

Đặt $x = n^2+3n$, ta có $A = x(x+2) = x^2+2x$.

Giả sử $A = m^2$ với $m \in \mathbb{N}^*$.

Thì $x^2 < x^2+2x < (x+1)^2 = x^2+2x+1$.

Nếu $x^2+2x = m^2$, thì $x^2 < m^2 < (x+1)^2$, điều này là mâu thuẫn.

Vậy $A$ không là số chính phương.

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời

Bạn cần hỏi gì?