Để chứng minh A=n(n+1)(n+2)(n+3)A = n(n+1)(n+2)(n+3) không phải là số chính phương với mọi n∈N,n≠0n \in \mathbb{N}, n \neq 0, ta làm như sau:

1. Phân tích bài toán
Một số là số chính phương nếu nó có dạng k2k^2, với k∈Zk \in \mathbb{Z}.
A=n(n+1)(n+2)(n+3)A = n(n+1)(n+2)(n+3) là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp.
Do n,n+1,n+2,n+3n, n+1, n+2, n+3 là các số liên tiếp, trong đó có cả số chẵn và lẻ, AA luôn là số chẵn.

2. Biến đổi biểu thức
Ta nhóm cặp (n,n+3)(n, n+3) và (n+1,n+2)(n+1, n+2):

A=n(n+3)(n+1)(n+2)=(n2+3n)(n2+3n+2)A = n(n+3)(n+1)(n+2) = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2)Đặt x=n2+3nx = n^2 + 3n, khi đó:

A=x(x+2)=x2+2xA = x(x+2) = x^2 + 2x
3. Xét tính chất của AA
Ta phân tích A=x2+2xA = x^2 + 2x để xem liệu AA có thể là số chính phương hay không. Giả sử A=k2A = k^2, ta có:

x2+2x=k2x^2 + 2x = k^2Viết lại thành phương trình bậc hai:

x2+2x−k2=0x^2 + 2x - k^2 = 0Phương trình này có nghiệm thực khi và chỉ khi:

Δ=22−4(1)(−k2)=4+4k2=4(1+k2) laˋ một soˆˊ chıˊnh phương.\Delta = 2^2 - 4(1)(-k^2) = 4 + 4k^2 = 4(1 + k^2) \text{ là một số chính phương.}Đặt Δ=4m2\Delta = 4m^2, ta có:

4(1+k2)=4m2  ⟹  1+k2=m24(1 + k^2) = 4m^2 \implies 1 + k^2 = m^2Viết lại:

m2−k2=1m^2 - k^2 = 1(m,k)(m, k) là hai số nguyên liên tiếp, dẫn đến m−k=1m - k = 1 và m+k=1m + k = 1. Điều này không phù hợp với trường hợp tổng quát của n≠0n \neq 0.

4. Đối chiếu modulo
Ta xét A=n(n+1)(n+2)(n+3)A = n(n+1)(n+2)(n+3) dưới một số modulo nhỏ:

Vì n(n+1)(n+2)(n+3)n(n+1)(n+2)(n+3) là tích của 4 số liên tiếp, trong đó một số chia hết cho 4 và một số chia hết cho 2, nên AA luôn chia hết cho 8.
Tuy nhiên, để AA là số chính phương, nó phải chia hết cho 1616 (vì bình phương của số chẵn chia hết cho 1616). Khi kiểm tra với các giá trị nhỏ của nn, AA không chia hết cho 1616.

5. Kết luận
Do AA không thỏa mãn các điều kiện để là số chính phương, nên AA không bao giờ là số chính phương với mọi n≠0n \neq 0.