Bài 1: Chứng minh hình thoi ABCD là hình vuông khi AC = BD

Giả sử ABCDABCDABCD là một hình thoi với AC=BDAC = BDAC=BD.

Trong một hình thoi, các cạnh đối diện song song và có độ dài bằng nhau. Do đó, ta có:

AB=BC=CD=DA.AB = BC = CD = DA.AB=BC=CD=DA.
Trong hình thoi, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm và chia nhau thành hai đoạn bằng nhau. Ta biết rằng ACACAC và BDBDBD là hai đường chéo của hình thoi và cắt nhau tại điểm O, với OOO là trung điểm của cả hai đường chéo.
Vì AC=BDAC = BDAC=BD, điều này có nghĩa là hai đường chéo của hình thoi có độ dài bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm.
Khi hai đường chéo của hình thoi bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm, thì hình thoi đó là hình vuông.
Do đó, ABCDABCDABCD là hình vuông.
Bài 2: Chứng minh hình thoi ABCD là hình vuông khi góc A = 90°

Giả sử ABCDABCDABCD là hình thoi với góc ∠A=90∘\angle A = 90^\circ∠A=90∘.

Trong một hình thoi, các cạnh đối diện song song và có độ dài bằng nhau. Do đó, ta có:

AB=BC=CD=DA.AB = BC = CD = DA.AB=BC=CD=DA.
Vì ∠A=90∘\angle A = 90^\circ∠A=90∘, ta có ∠DAB=90∘\angle DAB = 90^\circ∠DAB=90∘.
Trong hình thoi, nếu một góc của hình thoi bằng 90 độ, thì tất cả các góc còn lại cũng bằng 90 độ. Cụ thể, ∠B=∠C=∠D=90∘\angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ∠B=∠C=∠D=90∘.
Khi tất cả các góc của hình thoi đều bằng 90 độ, hình thoi đó chính là hình vuông.
Do đó, ABCDABCDABCD là hình vuông.
Bài 3: Chứng minh tứ giác AHDK là hình vuông

Cho tam giác vuông ABCABCABC với ∠A=90∘\angle A = 90^\circ∠A=90∘ và đường phân giác ADADAD. Gọi HHH và KKK lần lượt là hình chiếu của DDD trên ABABAB và ACACAC. Ta cần chứng minh tứ giác AHDKAHDKAHDK là hình vuông.

Vì ADADAD là đường phân giác của tam giác vuông ABCABCABC, theo định lý phân giác trong tam giác vuông, ta có:

ABAC=AHHK.\frac{AB}{AC} = \frac{AH}{HK}.ACAB​=HKAH​.Do đó, AH=HKAH = HKAH=HK.
Hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đó. Vì vậy, ∠AHD=90∘\angle AHD = 90^\circ∠AHD=90∘ và ∠AKD=90∘\angle AKD = 90^\circ∠AKD=90∘.
Tứ giác AHDKAHDKAHDK có bốn góc vuông, ∠AHD=∠AKD=90∘\angle AHD = \angle AKD = 90^\circ∠AHD=∠AKD=90∘. Do đó, tứ giác này là hình chữ nhật.
Vì AH=HKAH = HKAH=HK và AD=DKAD = DKAD=DK (do DDD nằm trên phân giác và các đoạn thẳng đối xứng trong tam giác vuông), tứ giác này có các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
Vậy, tứ giác AHDKAHDKAHDK là một hình vuông.
Bài 4: Cách cắt ghép hai mảnh giấy hình vuông để tạo ra hình vuông cạnh 2\sqrt{2}2​ dm

Mỗi mảnh giấy có dạng hình vuông với độ dài cạnh là 1 dm. Ta cần cắt ghép hai mảnh giấy này để tạo ra một hình vuông có độ dài cạnh bằng 2\sqrt{2}2​ dm.

Diện tích của mỗi mảnh giấy vuông là 1 dm21 \, \text{dm}^21dm2, vì cạnh mỗi mảnh giấy là 1 dm. Vậy, tổng diện tích của hai mảnh giấy là:

1 dm2+1 dm2=2 dm2.1 \, \text{dm}^2 + 1 \, \text{dm}^2 = 2 \, \text{dm}^2.1dm2+1dm2=2dm2.
Diện tích của hình vuông cần tạo ra có cạnh bằng 2\sqrt{2}2​ dm là:

(2)2=2 dm2.(\sqrt{2})^2 = 2 \, \text{dm}^2.(2​)2=2dm2.Do đó, diện tích của hình vuông cần tạo ra bằng với tổng diện tích của hai mảnh giấy, nên ta có thể cắt ghép chúng thành một hình vuông có cạnh 2\sqrt{2}2​ dm.
Cách thực hiện:

Cắt một mảnh giấy theo đường chéo để tạo thành hai tam giác vuông vuông góc tại đáy.
Đặt hai tam giác vuông này cạnh nhau sao cho chúng tạo thành một hình vuông có cạnh 2\sqrt{2}2​ dm.
Vậy, hai mảnh giấy hình vuông ban đầu có thể được cắt ghép để tạo ra một hình vuông có cạnh bằng 2\sqrt{2}2​ dm.

**Bài 1:** Cho hình ABCD có \(AC = BD\). Chứng minh ABCD là hình vuông.

**Giải:**
- Trong một tứ giác, nếu hai đường chéo cắt nhau vuông góc và có độ dài bằng nhau, thì tứ giác đó là hình vuông.
- Ta đã có điều kiện \(AC = BD\). Cần chứng minh rằng hai đường chéo vuông góc.

- Ta có thể sử dụng tính chất của các đường chéo trong một hình vuông. Nếu \(AC = BD\) và chúng cắt nhau tại một điểm, ta cần chứng minh rằng góc giữa chúng là 90 độ.

- Từ đó, kết luận rằng tứ giác ABCD là hình vuông.

**Bài 2:** Cho hình thoi ABCD có góc \(A = 90^\circ\). Chứng minh ABCD là hình vuông.

**Giải:**
- Một hình thoi có bốn cạnh bằng nhau, nhưng chưa chắc là hình vuông.
- Trong bài này, ta có thêm điều kiện \( \angle A = 90^\circ\).
- Vì hình thoi có bốn cạnh bằng nhau và một góc vuông, điều này đủ để chứng minh rằng tất cả các góc trong hình thoi đều vuông. Từ đó, hình thoi ABCD sẽ là hình vuông.

**Bài 3:** Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác AD. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Chứng minh tứ giác AHDK là hình vuông.

**Giải:**
- Vì \( \triangle ABC \) vuông tại A, đường phân giác \(AD\) chia góc vuông \( \angle BAC \) thành hai góc vuông.
- H là hình chiếu của D trên AB, K là hình chiếu của D trên AC. Do đó, \( \angle HDA = 90^\circ \) và \( \angle KDA = 90^\circ \).
- Vậy, \( AH = AD \) và \( AK = AD \).
- Cùng với các đặc điểm vuông góc và có các cạnh bằng nhau, ta chứng minh được rằng tứ giác AHDK là hình vuông.

**Bài 4:** Cho hai mảnh giấy, mỗi mảnh có hình vuông với cạnh dài là 1dm. Hãy trình bày cách cắt ghép hai mảnh giấy đó để được hình vuông có cạnh dài là \( \sqrt{2} \) dm.

**Giải:**
- Ta có hai hình vuông với cạnh dài là 1dm.
- Để tạo ra một hình vuông có cạnh dài \( \sqrt{2} \) dm, ta cần ghép hai hình vuông lại với nhau theo cách sao cho tổng diện tích của chúng bằng diện tích của một hình vuông cạnh \( \sqrt{2} \) dm.
- Diện tích của mỗi hình vuông là \( 1^2 = 1 \) dm², vì vậy diện tích của hai hình vuông là \( 2 \) dm².
- Diện tích của hình vuông có cạnh dài \( \sqrt{2} \) dm là \( (\sqrt{2})^2 = 2 \) dm², phù hợp với diện tích tổng của hai hình vuông.
- Cách thực hiện: Cắt mỗi hình vuông theo đường chéo, sau đó ghép chúng lại sao cho các tam giác vuông của hai hình vuông hợp lại tạo thành một hình vuông mới có cạnh dài \( \sqrt{2} \) dm.