Cho các véc tơ:

\[
\mathbf{a} = \left( -\frac{4}{6}, 7 \right), \quad \mathbf{b} = (1, 0, -3), \quad \mathbf{c} = (8, 7, 2)
\]

a) **Tính** \( \mathbf{m} = 2\mathbf{a} - 3\mathbf{b} + \mathbf{c} \)

Để tính \( \mathbf{m} \), chúng ta phải thực hiện phép toán cộng và trừ các véc tơ theo từng tọa độ tương ứng.

Bước 1: Nhân véc tơ \( \mathbf{a} \) với 2:

\[
2\mathbf{a} = 2 \times \left( -\frac{4}{6}, 7 \right) = \left( -\frac{8}{6}, 14 \right) = \left( -\frac{4}{3}, 14 \right)
\]

Bước 2: Nhân véc tơ \( \mathbf{b} \) với -3:

\[
-3\mathbf{b} = -3 \times (1, 0, -3) = (-3, 0, 9)
\]

Bước 3: Cộng các véc tơ \( 2\mathbf{a} \), \( -3\mathbf{b} \), và \( \mathbf{c} \):

\[
\mathbf{m} = \left( -\frac{4}{3}, 14 \right) + (-3, 0, 9) + (8, 7, 2)
\]

Tuy nhiên, chiều dài của các véc tơ không đồng nhất (vì \( \mathbf{a} \) là véc tơ 2 chiều và \( \mathbf{b}, \mathbf{c} \) là véc tơ 3 chiều). Để thực hiện phép cộng này, các véc tơ cần phải có cùng chiều không gian (tức là có cùng số lượng tọa độ).

Vì vậy, chúng ta cần phải chắc chắn rằng các véc tơ được biểu diễn đồng nhất trong không gian 3 chiều. Vậy \( \mathbf{a} \) cần được mở rộng thành véc tơ trong 3 chiều bằng cách thêm một tọa độ 0 vào cuối.

Cập nhật lại \( \mathbf{a} \):

\[
\mathbf{a} = \left( -\frac{4}{6}, 7, 0 \right) = \left( -\frac{2}{3}, 7, 0 \right)
\]

Bây giờ chúng ta có thể thực hiện phép toán cộng:

\[
\mathbf{m} = \left( -\frac{2}{3}, 7, 0 \right) + (-3, 0, 9) + (8, 7, 2)
\]

Cộng các tọa độ tương ứng:

\[
\mathbf{m} = \left( -\frac{2}{3} - 3 + 8, 7 + 0 + 7, 0 + 9 + 2 \right)
\]

Tính từng tọa độ:

\[
\mathbf{m} = \left( -\frac{2}{3} - \frac{9}{3} + \frac{24}{3}, 14, 11 \right)
\]

\[
\mathbf{m} = \left( \frac{13}{3}, 14, 11 \right)
\]

Vậy, \( \mathbf{m} = \left( \frac{13}{3}, 14, 11 \right) \).

b) **Tính** \( \mathbf{n} = \mathbf{a} + 3\mathbf{b} + 2\mathbf{c} \)

Bước 1: Nhân véc tơ \( \mathbf{b} \) với 3:

\[
3\mathbf{b} = 3 \times (1, 0, -3) = (3, 0, -9)
\]

Bước 2: Nhân véc tơ \( \mathbf{c} \) với 2:

\[
2\mathbf{c} = 2 \times (8, 7, 2) = (16, 14, 4)
\]

Bước 3: Cộng các véc tơ \( \mathbf{a} \), \( 3\mathbf{b} \), và \( 2\mathbf{c} \):

\[
\mathbf{n} = \left( -\frac{2}{3}, 7, 0 \right) + (3, 0, -9) + (16, 14, 4)
\]

Cộng các tọa độ tương ứng:

\[
\mathbf{n} = \left( -\frac{2}{3} + 3 + 16, 7 + 0 + 14, 0 - 9 + 4 \right)
\]

Tính từng tọa độ:

\[
\mathbf{n} = \left( -\frac{2}{3} + \frac{9}{3} + \frac{48}{3}, 21, -5 \right)
\]

\[
\mathbf{n} = \left( \frac{55}{3}, 21, -5 \right)
\]

Vậy, \( \mathbf{n} = \left( \frac{55}{3}, 21, -5 \right) \).

**Kết luận:**
- \( \mathbf{m} = \left( \frac{13}{3}, 14, 11 \right) \)
- \( \mathbf{n} = \left( \frac{55}{3}, 21, -5 \right) \)