Bài giải:
a) Chứng minh ANMPANMP là hình chữ nhật
Phân tích:
Để chứng minh ANMPANMP là hình chữ nhật, ta cần chỉ ra:

ANMPANMP là tứ giác.
ANMPANMP có 4 góc vuông hoặc hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
Chứng minh:
MM là trung điểm của BCBC:
Do MM là trung điểm của BCBC, nên MM thuộc đoạn thẳng BCBC.
Kẻ đường thẳng qua MM:

Đường thẳng qua MM song song với ABAB, cắt ACAC tại NN.
Đường thẳng qua MM song song với ACAC, cắt ABAB tại PP.
Quan sát hình học:

MN∥ABMN \parallel AB (giả thiết).
MP∥ACMP \parallel AC (giả thiết).
Tính chất hình học:

Trong tứ giác ANMPANMP, ta có:

MN∥ABMN \parallel AB và MP∥ACMP \parallel AC.
∠MAN=90∘\angle MAN = 90^\circ vì tam giác ABCABC vuông tại AA.
Do đó, ANMPANMP có hai cặp cạnh đối song song và các góc đều là 90∘90^\circ.
Kết luận:
ANMPANMP là hình chữ nhật.

b) Chứng minh AMCQAMCQ là hình thoi
Phân tích:
Để chứng minh AMCQAMCQ là hình thoi, ta cần chỉ ra:

Tứ giác AMCQAMCQ là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song).
Các cạnh của AMCQAMCQ bằng nhau.
Chứng minh:
Xác định điểm QQ:

QQ là điểm đối xứng của MM qua NN, nên NN là trung điểm của MQMQ.
Tính chất đối xứng:

Do MN∥ABMN \parallel AB, MP∥ACMP \parallel AC, và NN là trung điểm của MQMQ, các đường thẳng ANAN và MQMQ cắt nhau tại trung điểm NN.
Điều này giúp đảm bảo rằng AMCQAMCQ có hai cặp cạnh đối song song.
Độ dài các cạnh:

Trong hình học phẳng, với QQ đối xứng với MM, ta có: AM=MC=CQ=QA(ba˘ˋng nhau do tıˊnh chaˆˊt đoˆˊi xứng vaˋ trung điểm).AM = MC = CQ = QA \quad (\text{bằng nhau do tính chất đối xứng và trung điểm}).
Kết luận:

AMCQAMCQ là hình bình hành với bốn cạnh bằng nhau.
Do đó, AMCQAMCQ là hình thoi.

Kết quả:
a) ANMPANMP là hình chữ nhật.
b) AMCQAMCQ là hình thoi.